47、有限图线性拓扑结构（深度优先生成树）的参数化复杂度：叶子数量研究

有限图线性拓扑结构（深度优先生成树）的参数化复杂度：叶子数量研究

1 引言

在图论领域，深度优先生成树（DFS 树）是一个重要的概念。对于任意一个连通无向图 $G = (V, E)$，都存在一棵有根生成树 $T$，满足对于图 $G$ 中不在 $T$ 里的每条边 $xy$，要么 $x$ 是 $y$ 相对于 $T$ 的后代，要么 $x$ 是 $y$ 的祖先。这样的树被称为深度优先生成树，可通过深度优先搜索（DFS）算法计算得出，而图 $G$ 中不属于 $T$ 的边被称作回边。它还有其他别称，如线性生成树、特里莫树，在无限图的情况下也被叫做正规生成树。

1.1 DFS 树的重要性

DFS 树的特性在高效算法设计方面意义重大。众多运用 DFS 来解决图论问题的算法，充分体现了这一点。这些问题涵盖了寻找无向图的连通和双连通分量、二分匹配、平面性测试以及检查图的连通性等。在参数化复杂度领域，DFS 也发挥着关键作用，通过树深度和给定图的有界宽度树分解，能够得到固定参数可解（FPT）的结果。

1.2 线性拓扑的定义与应用

我们把三元组 $(G, r, T)$，即图 $G$ 加上根顶点 $r$ 的选择以及 DFS 树 $T$，称为线性拓扑 $T$（简称 LT）。这种 LT 概念对应着图 $G$ 边集 $E(G)$ 上的点集拓扑，其中开集是由与 $T$ 具有相同根 $r$ 的有根子树所诱导的子图的边集。图 $G$ 的线性拓扑可能在 $T$ 的属性上存在差异，例如高度和叶子数量。

线性拓扑在图绘制和可视化方面具有潜在应用。给定图 $G$ 和 DFS 树 $(T, r)$，若将图 $G$ 嵌入平面，使得每对交叉的边都是回边且最多只有一