46、多项式零点与矩阵特征值的快速近似

多项式零点与矩阵特征值的快速近似

1. 计算与定理

首先，通过应用特定算法来计算相关值。具体操作是，应用算法 70 计算多项式 (p(x)) 在圆盘 (D(0, \rho)) 中的第 0 个柯西和 (s_{0,q})，其中 (q = \lfloor10m\gamma \log_2(4d + 2)\rfloor)，然后输出最接近 (s_{0,q}) 的整数 (\overline{s}_0)。

这里有一个重要的定理：
- 定理 17 ：对于任意固定的 (\gamma \geq 1)，算法 16 在 NR 成本 (q = \lfloor10m\gamma \log_2(4d + 2)\rfloor) 下运行，输出 (\overline{s}_0 = #(D(0, \rho))) 的概率至少为 (1 - \frac{1}{\gamma})。
- 证明思路 ：假设圆环 (A(0, 1, \sqrt{2})) 最多包含 (m) 个根，那么最多有 (m’\leq m) 个根半径 (r_j = 2^{e_j}) 落在区间 ([1, \sqrt{2}]) 内，即对于最多 (m’\leq m) 个整数 (j)，有 (0 \leq e_j \leq 0.5)。固定以 (e_j) 为中心、长度最多为 (\frac{1}{5m’\gamma}) 的 (m’) 个区间，这些区间的总长度最多为 (\frac{1}{5\gamma})。设 (U) 为这些区间的并集，在区间 ([0.2, 0.4]) 上均匀随机采样一个 (u)，可知 (P(u \in U) \leq \frac{1}{\gamma})。因此，至少以 (1 - \frac{