45、多项式零点与矩阵特征值的快速近似

多项式零点与矩阵特征值的快速近似

在多项式求根和矩阵特征值近似的领域中，有许多重要的研究和进展。本文将深入探讨该领域的相关内容，包括经典的细分方法、软排除/包含测试、基于柯西积分的测试等，还会介绍确定性和随机化的测试算法。

1. 经典细分方法

经典的多项式求根方法可追溯到早期研究，其目标是找出复平面上固定可疑正方形内的所有根。细分迭代过程会将每个可疑正方形划分为四个全等的子正方形，并对每个子正方形进行包含/排除（e/i）测试。若测试证明该子正方形内没有根，则将其舍弃；否则，将其标记为可疑并在下一次迭代中继续处理。

在每次细分迭代中，有以下观察结果：
- 最多处理 4m 个可疑正方形，因为每个根可能位于 1、2 或 4 个可疑正方形内。
- 这些可疑正方形的中心能在正方形半直径范围内近似所有 m 个根。
- 正方形的半直径在每次迭代中缩小一半。

通过对边长为 Δ 且包含 m 个根的正方形应用细分迭代，可在误差 ϵ = Δ/2^b 内近似这些根，且最多对 4mk 个可疑正方形进行 e/i 测试，其中 k ≤ ⌈log₂(Δ/ϵ√2)⌉ = ⌈b + 0.5⌉。

2. 软排除/包含测试

为完善经典细分求根方法，我们为黑盒多项式设计了软 e/i 测试。这些测试可以确定覆盖固定正方形 S 的最小圆盘 D(c, ρ) 是否包含根。若不包含，则报告排除并舍弃 S；若一个稍大的同心圆盘 D(c, σρ)（σ > 1）包含根，则报告 σ - 软包含，将正方形 S 标记为可疑并进行细分。排除和 σ - 软包含的标准可能同时成立，但只要验证其中一个，测试就会停止。此时，之前的估计 4mk 会增加到最多