11、多项式零点与数值微分的求解方法

多项式零点与数值微分的求解方法

1. 多项式零点相关内容

1.1 多项式基础

多项式 (P_n(x)) 的形式为 (P_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n)，其中系数 (a_i) 可以是实数或复数。若系数为实数，多项式方程 (P_n(x) = 0) 有 (n) 个根，可能是实数或复数，且复数根总是共轭成对出现。
根据笛卡尔法则可估计实根数量：
- 正实根的数量等于 (P_n(x)) 表达式中符号变化的次数，或比该次数少一个偶数。
- 负实根的数量等于 (P_n(-x)) 表达式中符号变化的次数，或比该次数少一个偶数。
例如，对于 (P_3(x) = x^3 - 2x^2 - 8x + 27)，符号变化两次，所以 (P_3(x) = 0) 有两个或零个正实根；而 (P_3(-x) = -x^3 - 2x^2 + 8x + 27) 有一次符号变化，所以 (P_3(x)) 有一个负实根。

1.2 多项式求值

可以从左到右计算多项式的值，代码如下：

p = 0.0
for i in range(n+1):
    p = p + a[i]*x**i

但这种方法乘法次数为 (1 + 2 + 3 + \cdots + n - 1 = \frac{1}{2}n(n - 1))，当 (n) 较大时效率较低。更优的方法是从右到左计算，对于 (P_4(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4)，可改写为 (P_4(x)