12、无向平面图最大流的脆弱性分析

无向平面图最大流的脆弱性分析

在图论和网络流领域，无向平面图的最大流问题一直是研究的热点。本文将深入探讨无向平面图在最大流方面的脆弱性，介绍相关的概念、算法和策略。

1. 最大流基础概念

• 图的表示 ：给定一个具有 $n$ 个顶点的连通无向图 $G = (V(G), E(G))$，用 $ij$ 表示边 $e = {i, j} \in E(G)$，$dist_G(u, v)$ 表示图 $G$ 中连接顶点 $u$ 和 $v$ 的最短路径长度。对于两个顶点集合 $S, T \subseteq V(G)$，$dist_G(S, T) = \min_{u \in S, v \in T} dist_G(u, v)$。
• 可行流与最大流 ：设 $s, t \in G$ 且 $s \neq t$ 为两个固定顶点。图 $G$ 中的可行流为每条边 $e = ij \in G$ 分配两个实值 $x_{ij} \in [0, c(e)]$ 和 $x_{ji} \in [0, c(e)]$，满足 $\sum_{j:ij \in E(G)} x_{ij} = \sum_{j:ij \in E(G)} x_{ji}$，对于每个 $i \in V(G) \setminus {s, t}$。从 $s$ 到 $t$ 在可行流分配 $x$ 下的流量定义为 $F(x) = \sum_{j:sj \in E(G)} x_{sj} - \sum_{j:sj \in E(G)} x_{js}$。最大流 $MF$ 是所有可行流分配 $x$ 下 $F(x)$ 的最大值。
• 割与最小割最大流定理