13、无向平面图最大流相关问题及参数化图模板最大流算法

无向平面图最大流相关问题及参数化图模板最大流算法

在图论和网络分析领域，无向平面图的最大流以及参数化图模板的最大流问题一直是研究的热点。本文将深入探讨这些问题，介绍相关的概念、算法以及研究成果。

无向平面图边活力计算

在无向平面图中，边的活力是衡量网络在最大流情况下对边故障的敏感程度的重要指标。为了计算边的活力，我们需要先了解一些相关的引理和定理。

• 引理 3 ：设 $A = (a_1, a_2, \ldots, a_z)$ 是 $[k]$ 中任意递增的索引序列。则有 $\sum_{i\in[z - 1]} |E(\hat{\Omega} {a_i,a {i + 1}})| = O(n)$。并且，给定 $U$，我们可以在 $O(n)$ 的总时间内计算出所有 $i\in[z - 1]$ 的 $\hat{\Omega} {a_i,a {i + 1}}$。

  • 证明步骤 ：
    1. 为方便起见，对于所有 $i\in[z - 1]$，我们用 $\Omega_i$ 表示 $\Omega_{a_i,a_{i + 1}}$。
    2. 若 $e\in\Omega_i\cap\Omega_{i + 1}$，则 $e\in p_{i + 1}$。根据 $\hat{\Omega}_i$ 的定义，如果 $e$ 属于超过两个 $\Omega_i$，那么它恰好属于两个 $\hat{\Omega}$，因为在其他 $\Omega_i$ 中它会被收缩。