【图论】中国邮递员问题、平面图上最大割问题的多项式时间算法

一、中国邮递员问题

中国邮递员问题（Chinese Postman Problem, CPP）是图论中的一个著名问题，它是在1960年由我国学者管梅谷首先提出并研究的。简单来说，就是问：一个邮递员从邮局出发，把一个城市的所有街道都至少走一遍，最后回到邮局，问怎样使他走的总路程最小？这个问题有许多现实的应用，比如一个除雪车从城市的某一位置出发，把城市里所有街道的雪都清扫了，再回到出发点，问怎么走路程最少。我们可以把城市看作一个连通的、简单的带权无向图，节点代表街道的交叉，边代表街道，其权重是街道的长度。一个回路（circuit）是从某一点出发回到这一点的路径，并且可以将一条边经过多次。所以，中国邮递员问题就是求无向图上权重最小（即最短）的回路。

1. 与欧拉回路的关系

说到回路，我们肯定会想起欧拉回路（Eulerian circuit），它是在一个无向图中能够访问所有边恰好一次的回路（即“一笔画”）。显然，一个图如果含有欧拉回路，那欧拉回路就是邮递员的最佳路径了（因为他只用把每条边访问一次）。一个连通图有欧拉回路当且仅当所有节点的度数都为偶数。如果这个条件不满足，那么图中就没有欧拉回路，这时邮递员就必须把某些边访问两次及以上。也就是说，我们要在图中找到一些边，把它们复制，使得得到的多重图有欧拉回路，并且这些被复制的边的权重之和最小。

2. Edmonds-Johnson算法

管梅谷解决这个问题的方法是“奇偶点图上作业法”，但是复杂度太高，我们这里介绍复杂度更优的Edmonds-Johnson算法。首先，会“坏事儿”的节点就是图上具有奇度数的节点（称为奇节点，度数为偶数的叫偶节点），我们必须给每个奇节点复制一条（从它开始的）边。当图上所有节点都是偶节点时，才有欧拉回路。其次，我们可以看出，每条边至多被复制一次（也就是被邮递员经过两次），因为如果复制两次及以上，邮递员相当于要从这头走到那头又回来，白走了很多路程。或者说，至多复制一次就可以让一个奇节点变成偶节点，所以没必要复制更多次。

我们还可以观察到，一个无向图中奇节点的个数一定是偶数。为什么呢？握手引理（Handshaking Lemma）说的是：无向图中所有节点的度数之和等于边数乘2，那么度数之和和一定是偶数。而只有偶数个奇数之和才能是偶数，所以奇节点一定有偶数个。好了，现在我们假设图中有$2m$个奇节点，它们组成的集合为 S = { v 1 , v 2 , ⋯   , v 2 m } S=\{v_1,v_2,\cdots,v_{2m}\} S={ v1​,v2​,⋯,v2m​}。我们考虑把$v_1$变成偶节点，那么需要把一条从$v_1$出发的边复制一份。假设这条边为$(v_1,u)$，$u$本来是偶节点，把它复制一份，$v_1$确实变成了偶节点，但$u$又变成奇节点了。接着又得把$u$再变成偶节点，假设我们把$(u,h)$复制一份，$u$变偶，$h$变奇，再把$(h,l)$复制一份，$h$变偶，$l$变奇，……什么时候才能结束呢？直到遇到另一个$S$中的节点$v_x$（即本来度数为奇数的节点），使得$v_x$从奇变偶了，才能结束。（如果$v_1$本来就和某个奇节点$v_x$相邻，那么只需要把$(v_1,v_x)$复制一份即可。）其实我们发现，我们把$v_1$到$v_x$的路径都复制了一份，使得$v_1$、$v_x$的度数+1，中间节点的度数+2，那么这条路径上的所有节点都变成偶节点了。注意，我们想要增加的边的权重之和最小，那我们复制的一定是从$v_1$到$v_x$的最短路，而不是其他更长的路径。$$v_1(\text{奇})⟶u⟶h⟶l⟶\cdots ⟶v_x(\text{奇})$$好了，我们现在知道，把两个奇节点$v_i$和$v_j$之间的路径复制一份，可以把$v_i$和$v_j$都变成偶节点，花费的代价是$v_i$和$v_j$之间的最短距离（即最短路长度）。我们定义：如果把$v_i$到$v_j$的最短路径复制了一份，则称$v_i$和$v_j$配对。一个奇节点只能和另外的一个奇节点配对，因为如果和两个奇节点配对的话，那它的度数加2，它还是奇节点。（如果和三个奇节点配对，设这三个奇节点为$v_x,v_y,v_z$，那么可以视为它和$v_x$配对，$v_y$通过它和$v_z$配对。以此类推。）于是，这个问题就变成了一个最小权匹配问题。至此，Edmonds-Johnson算法也就逐渐浮出水面了。

Edmonds-Johnson算法的步骤是：

1. 对于连通的无向简单图$G=(V,E)$（邮局在哪里其实没有关系），设 S = { v 1 , v 2 , ⋯   , v 2 m } S=\{v_1,v_2,\cdots,v_{2m}\} S={ v1​,v2​,⋯,v2m​}是其中度数为奇数的节点。对于$S$中任意的节点对$(v_i,v_j)$，计算它们的最短路径长度$l_{ij}$。这一步可以由Floyd全源最短路算法完成。
2. 建立一个带权无向完全图$K_{2m}$，其节点集是$S$，每对节点$v_i,v_j$之间都有边，边权是$G$中$v_i,v_j$的最短路径$l_{ij}$。接着，我们需要找到$K_{2m}$的最小权完美匹配$M$，$M$是由$m$条边组成的集合，其中任两条边之间没有公共端点。（“完美”匹配指的是每个奇节点都有与之配对的节点。）寻找最小权完美匹配的过程可以由Edmonds算法在$O(n^3)$的时间内完成（$n$为 G G