7、非线性观测器中滤波器的添加与设计

非线性观测器中滤波器的添加与设计

1. 非线性观测器与滤波器级联的基本概念

在非线性观测器中添加滤波器是一个重要的研究方向。为了便于理解，我们先考虑单输出系统，且所使用的滤波器为线性、相对阶为 1 的情况，即滤波器输入出现在输出的一阶导数中。不过，相关结论可推广到任意类型的滤波器。

滤波器的输入为信号 $u \in R$，输出为 $u_f \in R$，其动态方程如下：
$\dot{\nu} = F\nu + Hu$
$\dot{z} = -qz + B\nu + cu$
$u_f = E\begin{bmatrix}\nu \ z\end{bmatrix} = z$

其中，$(\nu, z) \in R^{n_{\nu}} \times R$ 是滤波器的状态，$F$、$H$、$B$、$E$ 以及 $q$、$c$ 分别为合适维度的矩阵和常数。同时，定义矩阵 $G$ 为：
$G = \begin{bmatrix}F & 0 \ B & -q\end{bmatrix}$

假设三元组 $(G, E, \begin{bmatrix}H \ c\end{bmatrix}^T)$ 是可控且可观测的。需要注意的是，所考虑的滤波器不一定要求是稳定的。

2. 错误的滤波器实现方式及其问题

常见的一个误区是将有噪声的输出作为输入 $u = y$，并将 $u_f$ 作为观测器反馈项的新测量输出，即：
$\dot{\xi} = \phi(\xi, u) + \kappa(\xi, u_f - h(\hat{x}))$
$\hat{x} = \psi(\xi)$ </