10、多维尺度分析：原理、方法与应用

多维尺度分析：原理、方法与应用

1. 引言

在多元数据分析中，变量之间的接近性或相似性度量是一个核心概念。例如，在普通的经验正交函数（EOF）或主成分分析（PCA）中，协方差（或相关）矩阵就体现了变量对之间的协变程度，相关系数实际上就是变量间接近性的一种度量。当数据以变量间的距离形式给出，而非实际坐标或时间变化时，就引出了多维尺度分析（MDS）的概念。

MDS 是一种基于点间距离重构数据点配置的几何方法，它能揭示高维数据中隐藏的结构，是一种将高维数据中的接近性在低维空间中可视化的探索性技术。该方法最初于 20 世纪 30 年代中期在心理学领域由Schoenberg提出，后来经过多位学者的发展，被推广到社会学、经济学和气象学等多个领域。MDS 不仅是一种接近性可视化方法，也是一种像 PCA 一样的降维方法。

2. 相异度度量

MDS 的起点是一组点间距离，即一个包含所有成对相似性的矩阵。欧几里得距离是相异度度量的一个特殊情况，但一般来说，相异度不一定是通常意义上的欧几里得距离。

一个 $n×n$ 的矩阵 $D = (d_{ij})$ 若满足对称、$d_{ij} ≥ 0$ 且 $d_{ii} = 0$（$i, j = 1, 2, …, n$），则它是一个距离矩阵。相异度度量的选择通常取决于数据类型和具体问题。

对于连续数据等定量测量，常见的相异度度量包括 Minkowski 距离：
[d_{ij} = |x_i - x_j| {\lambda} = \left(\sum {k=1}^{n} |x_{ik} - x_{jk}|^{\lambda}\right)^{\frac{1}{\lamb