50、统计需要多少随机性？及无限时间 Blum - Shub - Smale 机器理论探索

统计需要多少随机性？及无限时间 Blum - Shub - Smale 机器理论探索

在算法随机性的研究领域，有诸多概念和理论不断涌现，为我们理解随机序列的性质和特征提供了丰富的视角。同时，在计算模型方面，对传统模型进行扩展和创新也在推动着计算理论的发展。本文将围绕算法随机性中的 Hippocratic 随机性、Kolmogorov - Loveland 随机性和随机序列，以及无限时间 Blum - Shub - Smale 机器展开深入探讨。

算法随机性相关概念

1. Hippocratic 可计算随机性

在构建序列 (Q) 时，我们选取 (Q) 的第 (i) 位，使其看起来像是在偏差为 (r) 的伯努利试验中随机选取的。具体做法是使用 (p) 中尚未用于构建 (Q) 的新位，并将它们与 (r) 进行比较，以此模拟试验。由于这些 (p) 的位之前从未被使用过，若我们仅知道 (Q) 的前 (i - 1) 位，它们看起来是随机的，因此 (Q) 的第 (i) 位确实看起来是以偏差 (r) 随机选取的。又因为 (r = 0.p_1p_2 \cdots p_i) 能快速收敛到 (p)，所以只要我们无法获取 (p)，序列 (Q) 整体就呈现出 (p) - 随机的特征，即 (Q) 是 (p) - Hippocratic 可计算随机的。

对于任意 Martin - Löf 随机偏差 (p)，(p) - 可计算随机性是比 (p) - Hippocratic 可计算随机性更强的概念。以下是相关定理及证明：
- 定理 1 ：设 (\alpha \in MLR)，存在一个序列 (Q \in 2^{\omega})，可从 (\alp