38、热带组合零点定理、少项式测试与复数上的弱空间复杂度研究

热带组合零点定理、少项式测试与复数上的弱空间复杂度研究

1. 热带多项式相关定理与概念

1.1 定理 6

当 (n = 2) 时，有 (k(s, 2) \leq \left\lfloor\frac{s}{2}\right\rfloor + 1)。对于二元多项式的最小通用集的大小，满足不等式 (s \geq 2(k - 1) + 1)。

1.2 定理 7

给出了 (k(s, n)) 的非构造性下界：(k(s, n) \geq \frac{s}{n + 1})。对于有理数上通用测试集的最小大小，有 (s \leq k(n + 1) + 1)。该定理通过仔细计算通用集的半代数集和热带多项式根集的维度来证明。

1.3 构造性下界

假设存在一个点集 (S = {\vec{a}_1, \ldots, \vec{a}_s} \subseteq \mathbb{Q}^n)，有一个具有单项式 (m_1, \ldots, m_k) 的多项式 (p) 在 (S) 的所有点处都有根。
- (p) 在 ((n + 1)) 维空间中的图像是一个分段线性凸函数，每个线性段对应一个单项式，多项式的根是该函数的非光滑点。
- (p) 在 (\mathbb{Q}^n) 中的所有根将空间 (\mathbb{Q}^n) 最多划分为 (k) 个凸（可能是无限的）多面体，每个多面体对应一个单项式。
- 考虑对应于单项式 (m_i) 的多面体，取 (S) 中位于其边界上的所有点并求其凸包，得到一个较小的（有限的）凸多面体 (P_i)。
- 从 (p) 出发，可以得到一组不相交的多面体 (P_1, \ldots, P