10、低次三角多项式测试：理论与实践

低次三角多项式测试：理论与实践

1. 引言

概率可检验证明（PCP）和属性测试是近二十年来理论计算机科学中最重要的领域之一。PCP 定理的证明为图灵模型中的 NP 复杂度类提供了另一种刻画。与此同时，Blum、Shub 和 Smale 提出了一种处理实数和复数计算的计算与复杂度理论分支，即 BSS 模型，但经典的 P 与 NP 问题在该模型中仍未解决。

经典的 PCP 定理证明主要包括三个步骤：
1. 为 NP 问题构建长透明证明，依赖于测试线性函数。
2. 基于测试有限域上的低次（代数）多项式设计验证程序，并结合求和检查程序。
3. 将前两个验证程序组合。

本文的主要成果是在实数模型中为某些低次三角多项式建立了类似的验证程序。

2. 前期工作

• 实数计算中的 PCP 相关结果 ：在实数计算框架中，已经证明了长透明证明的存在性，即给定一个大集合上的实函数值表，可以概率验证该表在某个子集上是否大概率表示一个线性函数，复数模型同理。
• 低次代数多项式测试 ：有研究尝试使用低次代数多项式作为实数向量的编码对象，得到了 $NPR = PCPR(O(log n), poly log n)$ 的结果，但该结果不足以证明完整的实数 PCP 定理，主要原因在于低次测试的结构不符合验证程序组合的要求。

以下是一个总结前期工作的表格：
| 工作内容 | 成果 | 不足 |
| ---- | ---- | ---- |
| 实数计算中的长透明证明 | 可概率