9、尺规作图逻辑与布劳威尔不动点定理的计算内容

尺规作图逻辑与布劳威尔不动点定理的计算内容

1. 尺规作图逻辑相关内容

在某些数学情境中，存在一个集合 (A)，它包含系数在 (K) 中的多项式，并且在倒数和半正定函数的平方根运算下是封闭的。例如，(\sqrt{1 + t^2} + \sqrt{1 + t^4} + \frac{1}{1 + t^2}) 属于集合 (A)，但 (\frac{1}{t}) 不属于 (A)。

我们将 (A) 作为克里普克模型的根，对正性谓词 (P(x)) 的解释为 (x) 是正定的。通过使用普西厄级数可以证明，集合 (A) 中的每个元素都只有有限个零点和奇点，并且存在一个可数集 (\Omega) 包含所有的零点和奇点，其补集在实数集 (\mathbb{R}) 中是稠密的。对于 (\alpha \notin \Omega)，我们通过解释 (P(x)) 当且仅当 (x(\alpha) > 0) 时成立来定义 (A_{\alpha})。在我们的克里普克模型中，(A_{\alpha}) 紧挨着根。这里 (t) 是一个没有倒数的非零元素，但如果 (x) 是正的，那么对于所有 (\alpha \notin \Omega) 都有 (x(\alpha) > 0)，由于 (\Omega) 的补集是稠密的且 (x) 是连续的，所以 (x) 是半正定的，因此 (\frac{1}{x}) 在 (A) 中存在。

欧几里得几何只需进行两处修改就可以完全具有构造性：
- 我们需要假定使用刚性圆规，而不是依赖命题 I.2 来模拟它。
- 我们需要采用强平行公理，而不是欧几里得第五公设。

经过这些修改后，欧几里得几何完全具有构造性，并且欧几里得构造几何（ECG）能很好地形式化欧几里得