9、圆与多边形的几何奥秘：从位置关系到尺规作图

圆与多边形的几何奥秘：从位置关系到尺规作图

1. 两圆的位置关系

两圆的位置关系是几何学中一个基础且重要的研究内容，其关键在于两圆的圆心距与它们半径大小的关系。两圆的位置关系存在三种可能性：
- 两个不同的交点；
- 一个交点；
- 没有交点。

定理 2.4 指出，两个不同的圆最多有两个公共点。因为如果它们有三个或更多公共点，根据定理 2.1，这两个圆将重合。

当两个圆相交于两个不同的点时，这两个公共点所构成的线段被称为两圆的公共弦。而具有相同圆心的两个圆被称为同心圆，连接两个非同心圆的圆心的直线被称为圆心线，有时也指连接圆心的线段，具体含义需根据上下文确定。

推论 2.12 表明，相交于两个不同点 A 和 B 的两圆的圆心线 OP 与它们公共弦 AB 的中垂线重合。这是因为根据推论 2.1，两圆的圆心都属于它们弦 AB 的中垂线。

当两个圆恰好有一个公共点时，这两个圆被称为相切，这个公共点被称为切点。命题 2.4 指出，两个相切圆的切点属于它们的圆心线。反之，如果两个不同的圆有一个交点且该交点属于它们的圆心线，那么这个交点是唯一的，并且这两个圆相切。

推论 2.13 给出了两圆相切的条件：两个圆 O(ρ) 和 O′(ρ′) 恰好有一个公共点（即相切），当且仅当满足以下两个方程之一：
- ρ + ρ′ = |OO′|，此时两圆外切；
- |ρ - ρ′| = |OO′|，此时两圆内切。

定理 2.5 则说明了两圆相交于两个不同点的条件：两个圆 O(ρ) 和 O′(ρ′) 相交于两个不同点，当且仅当它们的圆心线 |OO′| 和半径满足三角形不等式 |ρ