10、布劳威尔不动点定理与连通选择的计算内容及构造性巴拿赫代数中的平方根与幂

布劳威尔不动点定理与连通选择的计算内容及构造性巴拿赫代数中的平方根与幂

在数学的众多领域中，布劳威尔不动点定理、连通选择以及构造性巴拿赫代数中的平方根与幂等问题一直是研究的热点。下面将深入探讨这些问题的相关概念、定理及它们之间的联系。

连通分量的分类

• 连通分量操作的定义 ：对于非空闭子集空间 $A_n := {A \in A^-([0, 1]^n) : A \neq \varnothing}$，定义 $Conn : A_n \Rightarrow A_n$ 为 $Conn(A) := {C : C$ 是 $A$ 的连通分量 $}$。
• 定理 ：对于任意维度 $n \geq 1$，求闭集连通分量的问题 $Conn$ 与弱柯尼格引理具有相同的强魏赫拉赫度，即 $Conn \equiv_{sW} WKL$。

布劳威尔不动点定理与连通选择的等价性

• 相关操作定义
  • 布劳威尔不动点定理 ：$BFT_n : C_n \Rightarrow [0, 1]^n$，其中 $C_n := C([0, 1]^n, [0, 1]^n)$，$BFT_n(f) := {x \in [0, 1]^n : f(x) = x}$。
  • 连通选择 ：$CC_n : \subseteq A_n \Rightarrow [0, 1]^n$，对于所有非空连通闭集 $A \subseteq [0,