8、尺规作图中的逻辑与几何公理的深度剖析

尺规作图中的逻辑与几何公理的深度剖析

1. 引言

在几何领域，构造性方法一直是研究的核心。我们探讨如何将构造性范式拓展到几何中，特别是在定义线段或直线上点的加法和乘法时，要确保这些定义在参数上连续，避免基于符号的非构造性情况区分。

2. 欧几里得推理的构造性分析

欧几里得的推理总体上是构造性的，但存在一些非构造性命题。其中，《几何原本》第一卷命题 2 是非构造性的，它展示了用可折叠圆规模拟刚性圆规的方法。在构造性几何（ECG）中，我们将此命题作为公理，这意味着需要使用刚性圆规。另外，平行公理的表述也需要修正。

欧几里得在证明中常忽略情况区分，例如命题 I.6 的证明，使用了矛盾论证和“等式稳定性”原则（¬x ≠ y → x = y）。在构造性逻辑中，对于无量词、无析取的命题，我们有 ¬¬P → P。由于欧几里得定理的结论通常是无量词、无析取的，所以这些非构造性证明步骤可以消除。

3. 基本几何构造

欧几里得的基本构造通过构建直线和圆，并标记交点来完成。ECG 理论使用部分项逻辑（LPT），其中有原子公式 t ↓ 表示项 t 有定义。该理论的模型可看作一个多类代数，包含点、线、圆三种类型。

ECG 包含基本构造函数和访问器，如 Line(A, B) 表示过 A 和 B 的直线，Circle(A, B) 表示以 A 为圆心且过 B 的圆。还有“基本构造”函数，类型为点，如 IntersectLines(Line K, Line L) 等。

圆有两种构造方式：Circle(A, B) 对应可折叠圆规，Circle3(A, B, C) 对应刚性圆规。在构造性几何中，刚性圆规是必要的