一个组合数证明

一位大爷提到的这个式子。。。
感觉自己非常蠢，想了很久。。。
可能组合数学需要重新学。。。

求证 $\sum_{i = 1}^{m+1} {n \choose i}{m \choose i-1} = {n+m \choose m+1}$

$(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k$
$(1 + x)^n \times (1 + x)^m = \sum_{k = 0}^{n+m}\sum_{i=0}^kC_n^iC_m^{k-i}x^k$
$(1+x)^{n+m} = \sum_{k=0}^{n+m} C_{n+m}^k x^k$
$\therefore \sum_{i=0}^{m+1}C_n^iC_m^{m+1-i} =\sum_{i=0}^{m+1}C_n^iC_m^{i-1} = C_{m+n}^{m+1}$