复数的基本概念

概念

虚数单位：$i^2 = -1$
复数的代数形式：$z = a + bi$
复数的模：$|z| = |a + bi| = \sqrt {a^2 + b^2}$
实部 a 虚部 b(没有i)
复数不能比较大小

复数的运算

加减：$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$
乘 ： $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i$
除：$\frac {a+ bi}{c + di} = \frac {(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac {(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$
开方：
若 $z^n = r(\cos \theta + i\sin\theta)$，则
$z = \sqrt [n]{r}[\cos \frac {2k\pi + \theta}{n} + i\sin\frac {2k\pi + \theta}{n}]$ (k = 0,1,2…n - 1)
表示 n 个不同复数QAQ

常用算式

(1) $\frac 1i = -i$
(2) $(1 \pm i)^2 = \pm 2i$
(3) $\frac {1 + i}{1 - i} = i$
(4) $\frac {1 - i}{1 + i} = -i$

共轭复数

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
表示为$\overline{z}$(看掉那根横线就gg了啊
性质：
$|a + bi| = |a - bi|$
$(a + bi)(a - bi) =a^2 + b^2$
和差积商的共轭等于共轭的和差积商

复数的辐角

复数可以写成：$z = r (\cos \theta + i\sin \theta)$
$\theta$ 是 z 的辐角，记作：Arg(z),在 $[0,2\pi)$ 的辐角称为辐角主值，记作：$\arg(z)$
指数形式：$z = r(cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$

欧拉恒等式

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$
当 $x = \pi$，这个式子就是 $$e^{\pi i} + 1 = 0$$

棣莫弗定理

设两个复数分别为：$z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) = r_1e^{i\theta_1},z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) = r_2e^{i\theta_2}$,则：

$$z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] = r_1r_2e^{i(\theta_1+ \theta_2)}$$
因此 $|z_1z_2| =r_1r_2,Arg(z_1,z_2) = Argz_1 + Argz_2$