常用不等式与放缩

常用不等式

均值不等式

$$H_n<=G_n<=A_n<=Q_n$$
其中：
调和平均数：$H_n = \frac n{\sum_{i=1}^n\frac 1{x_i}}$
几何平均数：$G_n = \sqrt [n]{\prod_{i=1}^nx_i}$
算术平均数：$A_n=\frac {\sum_{i=1}^nx_i}n$
平方平均数：$Q_n = \sqrt {\frac {\sum_{i=1}^nx_i^2}n}$

绝对值不等式

$$|a| - |b| <= |a \pm b| <= |a| + |b|$$

琴生不等式

凸函数：
设 $f(x)$ 在区间 I 上有定义，如果对任意 $x_1,x_2 \in I$ 和实数 $\lambda \in (0,1)$ 总有

$$f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) <= \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2)$$ 成立，则称 $f(x)$ 在区间 I 上为下凸函数
变形： $$f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n) >= f(\frac {x_1 + x_2 + \cdots +x_n}n)$$

琴生不等式：
若 f 为 [a,b] 上的凸函数，则对任意 $x_i \in [a,b],\lambda_i > 0,\sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$,有

$$f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right) <= \sum_{i=1}^n \lambda_if(x_i)$$

伯努利不等式

对实数 $x > -1$
当 $n >= 1$,有 $(1 + x)^n >= 1 + nx$
当 $0 <= n <= 1$，有 $(1 + x)^n <= 1 + nx$
当且仅当 $n = 0,1$ 或 $x = 0$ 时等号成立
一般式：

$$(1 + x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n) <= (1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3) \cdots (1 + x_n)$$

柯西不等式

$$\sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2 >= \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2$$
即 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| >= |\overrightarrow{a} \dot\ \overrightarrow{b}|$

排序不等式

若数列 $\{a_n\}、\{b_n\}$ 满足单调不下降，则有：顺序和 >= 乱序和 >= 逆序和

切比雪夫不等式

若有 $a_1 >=a _2 >= \cdots >= a_n,b_1 >= b_2 >= \cdots >= b_n$

$$n\sum_{i=1}^n(a_ib_i) >= \left(\sum_{i=1}^na_i\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i\right) >= n\sum_{i=1}^n(a_ib_{n-i+1})$$

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放缩

1. $\frac 1{n^2} < \frac 1{n^2 - \frac 14} = 2(\frac 1{2n - 1} - \frac 1{2n + 1})$
2. $\frac 1{n^2} < \frac 1{n(n-1)} = \frac 1{n-1} - \frac 1n$
3. $\ln x <= x - 1 \rightarrow \frac {\ln x}x <= 1 - \frac 1x$
4. $\frac 1{\sqrt k} > \frac 2 {\sqrt k + \sqrt{k+1}} ＝ 2(\sqrt {k+1} - \sqrt k)$
5. $\frac 1{\sqrt{n + 2}} < \sqrt{n + 2} - \sqrt{n}$
6. $2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) < \frac 1{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})$

ex1. a>1，$n\in N$，n>1，求证 $\sqrt [n]{a} - 1 < \frac {a-1}n$
令 $x = \sqrt [n]{a} - 1$，则 $(x+1)^n = a$
即证 $nx < (x+1)^n - 1$
$(x+1)^n - 1 = C_n^0x^n + \cdots + C_n^{n-1}x + 1 - 1 > C_n^{n-1}x = nx$

ex2. 求证 $\frac {\ln 2}{2^3} + \frac {\ln 3}{3^3} + \cdots + \frac {\ln n}{n^3} < \frac 1e$
$\left( \frac {\ln x}x \right)' = \frac {1 - \ln x}{x^2}$
$\therefore x = e ，\left( \frac {\ln x}x \right)_{max} = \frac 1e$
$\sum_{i = 2}^n \frac {\ln i}{i^3} < \sum_{i = 2}^n \frac 1{ei^2} < \frac 1e\sum_{i=2}^n\frac 1{(i-1)i} < \frac 1e$

ex3.
利用 $(n - 1)(n + 1) <= n^2$
$\frac {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n)} = \sqrt {\frac {1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n - 1)^2 \cdot (2n + 1)}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdots (2n)^2 \cdot (2n + 1)}} < \frac 1{\sqrt {2n + 1}}$

ex4. 证明 $\sum_{k = 1} ^ n\frac 1{2^k - 1}$
当 $n >= 2$ 时，$(2^n - 1) - 3 \cdot 2^{n - 2} = 2^{n - 2} - 1$
于是 $\frac 1{2^n - 1} <= \frac 13 \cdot \frac 1{2^{n - 2}}$
$\sum_{k = 1} ^ n\frac 1{2^k - 1} < 1 + \frac 13\sum_{k = 0}^{n - 2} 2^{-k} < \frac 53$

数学归纳也是滋磁的