如何证明组合数是整数

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前言

其实这是某大佬的 PPT 里的一个问题，觉得很有意思，就花了一些时间想了想。

问题

总所周知，组合数的数论定义式是 $\frac{(n-m+1)\times (n-m+2)\times \cdots \times n}{1\times 2\times 3\times \cdots \times m}$。

那么，仅通过这个定义式，如何证明组合数一定是整数呢？

证明

感性的证明

一个组合数，可以看成是连续的 $m$ 个正整数的积除以 $m!$。

那么，我们可以先找到所有 $m!$ 的质数，从小到大分别是 $p_1,p_2,p_3\cdots p_x$。

那么，我们可以考虑枚举质数。

对于质数 $p_i$，包含了因子 $p_i$ 的数，在 $[1,m]$ 中应当有 $\lfloor \frac{m}{p_i}\rfloor$ 个，在 $[n-m+1,n]$ 中也应当有 $\lfloor \frac{m}{p_i}\rfloor$ 个。

那么，把这些数全部除以 $p_i$。

再考虑包含了因子 ${p_i}^2$ 的数，在两个区间都应该有$\lfloor \frac{m}{{p_i}^2}\rfloor$ 个，同样全部除掉。

再考虑 ${p_i}^3$ 一直到 ${p_i}^k$，这样的话，我们就可以发现可以完全地把质因子 $p_i$ 的影响消去。

所以当我们把所有的质因子全部消去时，分母就是 $1$，分子还剩下一些 $>p_x$ 的质因子，所以一定是整数。

严谨的证明

上面的证明，我自己感觉比较正确，但是感觉不够数学，所以又想了一种大概是归纳法的证明方法。

我们考虑证明 $m=i$ 的情况，假设 $m<i$ 的情况都已经证明一定正确。

再构造两个数列 $a$ 和 $b$，最开始，都是 { 1 , 2 , 3 ⋯ i } \{1,2,3\cdots i\} {1,2,3⋯i}。

把序列 $a$ 的积看作分子，序列 $b$ 的积看作分母，那么这个比值就对应某个组合数，通过把 $a$ 整体加上一个数，来表示所有的 $m=i$ 的组合数。

首先，原始的序列 $a$，对应 $n=i$ 的情况，并且一定是整数。

现在考虑 $n=i+1$ 的情况，也就是把序列 $a$ 整体加上 $1$ 的情况。

我们可以把中间 $i-1$ 个相同的数都消去，这样序列 $a$ 仅留下 $i+1$，序列 $b$ 仅留下 $1$，这个显然是整数对吧，不过，我们眼光还要放长远一些，这个不就是 $m=1$ 的组合数吗？因为 $m<i$ 的组合数我们都看作已经证明是整数了，所以这种情况是对的。

再把序列 $a$ 加 $1$，那么这一次序列 $a$ 留下的是 { i + 1 , i + 2 } \{i+1,i+2\} {i+1,i+2}，序列 $b$ 留下的是 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2}，这又对应 $m=2$ 的组合数，也是证明过的。

再不断地把 $a$ 加 $1$，可以分别对应 $m=k,k\in [1,i-1]$ 的所有组合数情况。

但是，当 $a$ 加了 $i$ 次时，就没有可以对应的了，这该怎么证明呢？

可以先看看 $i-1$ 次的时候，序列 $a$ 是 { i , i + 1 , ⋯   , 2 × i − 1 } \{i,i+1,\cdots,2\times i -1\} {i,i+1,⋯,2×i−1}，序列 $b$ 是 { 1 , 2 , 3 ⋯   , i } \{1,2,3\cdots,i\} {1,2,3⋯,i}。

因为对应了 $m=i-1$ 的组合数，所以一定是整数，这个时候，再把序列 $a$ 都加上 $1$，可以等价地看作去掉 $i$，加上 $2\times i$，所以序列 $a$ 的积扩大了两倍，也一定是整数。

那么，再往后面继续加 $1$，证明方式也同理，所以我们证明得到了 $m=i$ 的组合数都一定是整数，再继续证明 $m=i+1$，后续都一定可以证明，所以推广到 $m$ 是任意数，组合数都一定是整数，证明完毕。