45、反馈运动规划中的微分方程与流形相关知识解析

反馈运动规划中的微分方程与流形相关知识解析

1. 微分方程的积分曲线

在微分方程中，积分曲线（或解轨迹）有着重要的地位。对于给定的微分方程，如果满足以下条件，就代表了具有初始条件 $\tau(0) = x_0$ 的积分曲线：
[
\frac{d\tau}{dt}(t) = f(\tau(t))
]
这也可以用积分形式表示为：
[
\tau(t) = x_0 + \int_{0}^{t} f(\tau(s))ds
]
这种解被称为卡拉西奥多里意义下的微分方程解。直观来说，积分曲线从 $x_0$ 开始，沿着速度向量所指示的方向流动，类似于离散情况下沿着箭头移动。

1.1 示例

1.1.1 恒定速度场的积分曲线

最简单的情况是恒定向量场。假设在 $\mathbb{R}^2$ 上定义了一个恒定场 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 2$，从 $(0, 0)$ 出发的积分曲线为 $\tau(t) = (t, 2t)$。可以很容易验证，对于所有 $t \geq 0$，上述微分方程都成立。

1.1.2 线性速度场的积分曲线

考虑 $\mathbb{R}^2$ 上的速度场，设 $\dot{x}_1 = -2x_1$ 和 $\dot{x}_2 = -x_2$。函数 $\tau(t) = (e^{-2t}, e^{-t})$ 表示从 $(1, 1)$ 出发的积分曲线。当 $t = 0$ 时，$\tau(0) = (1, 1)$，这是初始状态。可以验证，对于所有 $t > 0$，上述微分方程也成立。一般来说，如果每个 $f_i$ 是坐标变量 $