92、基于采样的微分约束运动规划解析

基于采样的微分约束运动规划解析

1. 可达性图与分辨率完备性

在运动规划中，可达性图是一个重要的概念。为了使可达性图最终在可达集上变得稠密，并且确保对其进行系统搜索，我们先做一些假设。假设 (X = C = R^2)，状态表示为 (q = (x, y))，动作空间 (U = [−1, 1]^2)，状态转移方程为 (\dot{x} = u_1) 和 (\dot{y} = u_2)。当将离散时间模型应用于 (U) 时，设 (\epsilon_t = 1)，并且 (U_d = {(-1, 0), (0, -1), (1, 0), (0, 1)})，这就得到了曼哈顿运动模型，会产生阶梯状路径。

从某个状态 (x_I) 出发，可达性图表示通过状态转移方程能得到的所有单位步长的阶梯状路径的集合。若 (X_{free}) 是 (R^2) 的有界开子集，对于固定的 (\epsilon_t)，可达性图会隐式定义一个特定分辨率的网格。规划任务是找到一个动作序列，使系统在 (X_{free}) 内到达目标（或可达性图中接近目标的顶点）。

具体操作步骤如下：
1. 进行系统搜索以寻找满足条件的动作序列。
2. 如果搜索是系统的，就能正确判断可达性图是否包含解。
3. 若无解，规划算法可将 (\epsilon_t) 按常数因子（如 2）减小，再次进行系统搜索。
4. 重复上述过程，直到找到解；若无解，算法理论上会一直运行（实际中通常会提前终止）。

这种方法在分辨率完备性的意义上是有效的，因为随着时间离散化的改进，阶梯状路径可以任意接近某个解路径。一般来说，当 (\epsilon_t) 和 (U) 中采样的分散度趋近于 0 时，通过离散动作序列积分