34、运动规划中的代数分解与算法

运动规划中的代数分解与算法

在运动规划领域，有效的路径规划和决策问题的解决至关重要。本文将介绍半代数分解、圆柱代数分解以及Canny的路线图算法等相关内容，这些方法在解决运动规划问题中发挥着重要作用。

半代数分解

半代数分解是一种将空间划分为多个区域的方法。以姜饼人面部的半代数分解为例，其半代数模型的多项式集合为 (F = {f_1, f_2, f_3, f_4})，分别对应“头部”“左眼”“右眼”和“嘴巴”。符号分配会产生一个四维的符号向量，如果 ((x, y)) 位于多项式的零点上，符号分配中会出现 0；若多个多项式曲线相交，交点处的符号分配会出现多个 0。

姜饼人面部的半代数分解产生了九个区域，其中五个二维区域分别对应面部外部、左眼内部、右眼内部、嘴巴内部以及面部内部但在嘴巴和眼睛外部；四个一维区域对应多项式零集上的点。然而，这种分解由于区域中存在孔洞，对于运动规划的实用性不强，但对于解决决策问题非常有用。只需检查每个区域内的一个点，就可以确定没有自由变量的Tarski句子的真假，因为在一个区域内多项式的符号不会改变，相应逻辑谓词的真假值也不会改变。

圆柱代数分解

圆柱代数分解是一种通用方法，它通过一系列投影将半代数集的维度逐次降低，最终得到一维的单变量多项式，确定细胞边界的关键位置。然后反向操作，从一维逐步构建到 (n) 维的分解。

投影性质

根据Tarski - Seidenberg定理，半代数集从 (n) 维投影到 (n - 1) 维仍然是半代数集，这保证了每次投影都能得到有效的半代数集。而实代数簇不具有这种投影封闭性。

实代数数

投影序