32、运动规划中的组合分解方法

运动规划中的组合分解方法

1. 单纯复形与奇异复形

1.1 单纯复形

单纯复形是有限个单形的集合，需满足以下条件：
- 单形的任意面也属于该集合。
- 集合中任意两个单形的交集要么是它们的公共面，要么为空集。

对于 (k > 0)，单纯复形 (K) 的 (k) - 胞腔定义为任意 (k) - 单形的内部；对于 (k = 0)，每个 (0) - 单形就是一个 (0) - 胞腔。所有胞腔的并集构成了 (K) 所覆盖点集的一个划分，提供了一种与特定分解方法一致的胞腔分解。

1.2 奇异复形

单纯复形在几何建模和计算机图形学等领域可用于计算模型的拓扑结构，但对于运动规划中复杂的拓扑空间、隐式非线性模型和分解算法，它不足以解决最一般的问题。奇异复形是单纯复形的推广，它可以定义在任何流形 (X) 上，甚至可以定义在任何豪斯多夫拓扑空间上。

与单纯复形不同，奇异复形中的每个奇异单形实际上是从 (R^n) 中的一个（单纯）单形到 (X) 的一个子集的同胚映射。

以一维奇异复形为例，它恰好是一个拓扑图。区间 ([0, 1]) 是一个 (1) - 单形，连续路径 (\tau : [0, 1] \to X) 是一个奇异 (1) - 单形。对于拓扑图 (G(V, E))，每个点 (v \in V) 是 (X) 中的一个 (0) - 胞腔，可看作函数 (f : {0} \to X) 的像，即奇异 (0) - 单形；对于每条路径 (\tau \in E)，对应的 (1) - 胞腔为 ({x \in X | \tau(s) = x \text{ 对于某些 } s \in (0, 1)})。