18、运动规划与配置空间详解

运动规划与配置空间详解

1. 四元数与旋转表示

在运动规划中，四元数在表示旋转方面起着重要作用。我们构建了四元数 $-h$，而 $h$ 和 $-h$ 实际上代表着相同的旋转。这意味着从单位四元数集合到特殊正交群 $SO(3)$ 的映射（由公式 (4.20) 给出）是二对一的。不过，我们可以通过识别技巧来解决这个问题。

单位四元数集合由于约束条件 $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$，与三维球面 $S^3$ 同胚。我们可以将每个四元数 $h$ 视为四维空间 $\mathbb{R}^4$ 中的一个元素，而上述约束条件使得这些点位于 $S^3$ 上。通过声明对于所有单位四元数 $h \sim -h$，我们实际上是将 $S^3$ 上的对映点进行了识别。根据相关知识，当对映点被识别时，$RP^n \cong S^n / \sim$，所以 $SO(3) \cong RP^3$，它可以被看作是 $\mathbb{R}^4$ 中所有过原点的直线的集合，但这很难直观想象。

为了强制旋转表示的唯一性，我们可以要求四元数位于 $S^3$ 的“上半部分”。具体规则如下：
- 首先要求 $a \geq 0$，但需要妥善处理 $a = 0$ 的边界情况，因为在 $S^3$ 的赤道上存在对映点。
- 若 $a = 0$，则要求 $b \geq 0$。
- 若 $a = b = 0$，则要求 $c \geq 0$，因为像 $(0, 0, -1, 0)$ 和 $(0, 0, 1, 0)$ 这样的点代表相同的旋转。
- 最后，若 $a = b = c = 0$，则只允许 $d = 1$。

需要注意的是，当路径穿越 $S^3$ 的赤道时，必