16、拓扑空间中的流形、路径与连通性探索

拓扑空间中的流形、路径与连通性探索

在拓扑学和运动规划领域，理解不同类型的流形以及它们的连通性是至关重要的。本文将深入探讨二维和高维流形的构造，以及路径与连通性的相关概念，包括同伦、基本群等内容。

1. 二维流形

许多重要的二维流形可以通过对一维流形进行笛卡尔积来定义。以下是一些常见的二维流形：
- 平面 (R^2) ：由 (R \times R) 形成。
- 圆柱 (R \times S^1) ：(R \times S^1) 定义的流形等价于一个无限圆柱。
- 环面 (T^2) ：(S^1 \times S^1) 得到的流形，即甜甜圈的表面。

除了上述通过笛卡尔积得到的流形，还可以通过点的识别来生成新的流形。从一个开放的正方形 (M = (0, 1) \times (0, 1)) 开始，它与 (R^2) 同胚。
- 扁平圆柱 ：通过对所有 (y \in (0, 1)) 进行识别 ((0, y) \sim (1, y)) 并将这些点添加到 (M) 中得到。
- 莫比乌斯带 ：可以通过将纸条的两端扭转 180 度后连接得到，也可以通过识别 ((0, y) \sim (1, 1 - y)) 来构造。莫比乌斯带只有一个面且不可定向。

接下来介绍一些没有边界的流形：
- 环面 (T^2) ：通过进行如圆柱的识别 ((0, y) \sim (1, y)) 以及顶部和底部的识别 ((x,