一般拓扑与流形

度量空间与拓扑空间

度量空间 Метрическое пространство

任意集合中元素之间的“接近度”，是拓扑学中的一个重要概念，而为了衡量元素之间的“接近度”，使用“距离”这一概念是相当方便的方法。

让我们给定一个任意的集合$X$，它由任意性质的元素组成，那么定义在集合$X$上的度量则是一个非负的数值函数$\rho (x,y)$，其中元素$x,y\in X$，以及满足以下的性质：

1. $\rho (x,y)=0$，当且仅当$x=y$时成立 [恒等公理]；
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x)$ [对称公理]；
3. 对于任意的三个元素$x,y,z\in X$，总会有$\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)$ [三角公理]。

于是，集合$X$与定义在该集合上的一个度量$\rho$称为度量空间，度量空间通常用有序对$(X,\rho )$来表示，但有时也会只有一个$X$来表示。

闭集 Закрытое множество

对于$x\in X$，满足$\rho (x,y)<\epsilon$的所有点$y\in X$的集合$O_{\epsilon }(x)$称为以$x\in X$为中心，半径为$\epsilon$的球邻域。那么对于集合$Y\subset X$，使得$\rho (x,Y)=0$的每一个点$x\in X$都称为集合$Y$的接触点。集合$Y$所有的接触点的集合被称为集合$Y$的闭包，记作$\bar{Y}$，如果在$Y\subset X$中有$\bar{Y}=Y$，那么$Y$就称为闭集，进一步的，如果$X\setminus Y$（集合$Y$在$X$中的补集）是闭集，那么$Y$就是开集。

其中，特别需要注意的是，全集$X$中的点$x$到子集$Y\subset X$的距离$\rho (x,Y)$指的是，遍历整个子集$Y$中所有的点与点$x$的距离，取其中最小的作为距离$\rho (x,Y)$。

拓扑空间 Топологическое пространство

如果我想在一个集合$X$上定义一个拓扑，那么我们需要引入一个集合$X$的子集族$T$，并且该它们都是开集，然后满足下面的条件：

1. 所有集合$X$以及空集都是空集；
2. 任意子集族的并集和有限个开集的交集的交集都是开集。

这样，集合$X$与定义在该集合上的符合条件的一个子集族$T$称为拓扑空间，度量空间通常用有序对$(X,T)$来表示，但有时也会只有一个$X$来表示。

更加数学化的表达：

集合$X$之所以可以被称为拓扑空间，是当在该集合上可以跟定一个子集族$T$（都是开集），且符合下面的条件时：

1. $\varnothing ,X\in T$
2. $A,B\in T\Rightarrow A\cap B\in T\iff A_1,\dots \dots ,A_n\in T\Rightarrow {\bigcap }_{i=1}^n{A}_i\in T$
3. $A_{\alpha }\in T\Rightarrow {\bigcup }_{\alpha }{A}_{\alpha }\in T$

连续映射 Непрерывное отображение

这里的连续映射是定义在拓扑空间之间的映射，即$f:X⟶Y$，其中$X$和$Y$都是拓扑空间。

那么如果该映射是在点$x_0\in X$上是连续的，则需要满足，对任意$f(x_0)\in Y$的任何邻域$V(f(x_0))$，都有$x_0\in X$的邻域$U(x_0)$，使得$f(U(x_0))\subset V(f(x_0))$。如果这个映射在整个$X$上所有的点都满足连续，那么该映射就是一个连续映射。

换个角度说，首先有两个拓扑空间$X$和$Y$，并且定义了一个映射$f:X⟶Y$，然后我们在集合$X$上取一个点$x_0$，以及它的邻域$U(x_0)$，相应的，我们可以取到映射到集合$Y$上的点$f(x_0)$以及它的邻域$V(f(x_0))$。如果，再将邻域$U(x_0)$通过映射$f$映射到集合$Y$上的点集$f(U(x_0))\subset V(f(x_0))$，即没有超出$V(f(x_0))$的范围，那么在这个点上的映射就是连续的。紧接着，如果映射$f$在集合$X$上所有的点都满足这个定义，那么就可以称$f$是一个连续映射。

同胚 Гомеоморфизм

紧接着连续映射的概念，如果$X$和$Y$两个拓扑空间存在连续映射$f:X⟶Y$，并且该映射即是单射，又是满射（双方单值），然后该映射的逆映射$f^{-1}$也是连续映射，那么我们就可以称该映射为同胚，同时$X$和$Y$两个拓扑空间也是同胚的拓扑空间。

诱导拓扑 Индуцированная топология

如果$X$是一个拓扑空间，$Y\subset X$是$X$的一个子集，那么，我们在$Y$上也能作出一个拓扑结构。
那么也就是说这里新的拓扑空间的集合就是$Y$，然后我们找到这个集合中一类特殊的子集族，即由集合$X$中的开集与$Y$交集形成的新集合。换句话说，$U\subset X$是一个开集，那么$U\cap Y$就是$Y$上的一个开集。

这里举一个实数轴$\mathbb{R}$和区间$[0,1]$的例子：

1. 其中，诱导拓扑中的集合就是$[0,1]$；
2. 拓扑结构${\tau }_Y$所有形如$U\cap [0,1]$的集合构成，其中$U\in \mathbb{R}$且是一个开集；
3. 于是，这样的定义便可以构成一个新的拓扑结构$(X,{\tau }_Y)$

连通性 Связность

一般的，拓扑空间$X$，如果不能被分为两个非空且不相交的两个开集的并，即说明它是连通的，即无法使用这种形式来表示：$X=A\cup B$，其中$A,B\ne \varnothing$且$A\cap B=\varnothing$。

特别的，如果在一个拓扑空间中，任意两点都可以通过一条连续的曲线相连接，那么称这个拓扑空间是线性连通的。

连续映射下保持的连通性 Сохранение связности при непрерывном отображении

[定理] 在连续映射下，连通空间的像仍然是连通的，
[定理] 在连续映射下，线性连通空间的像仍然是线性连通的，

也可以表述为：$X$和$Y$都是拓扑空间，且存在一个连续映射$f:X⟶Y$，如果$X$是线性连通的，那么$f(X)$也是线性连通的。

Hausdorff 空间 Пространство Хаусдорфа

如$X$是一个拓扑空间，如果任意$x,y\in X$且$x\ne y$，存在不相交的邻域$U(x)$和$U(y)$，即$U(x)\ne U(y)$，那么我们称该空间是Hausdorff空间。

开覆盖 Открытое покрытие

设拓扑空间$X$有开集族 { U α } \{ U_\alpha \} {Uα​}，若$X={\bigcup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$，那么我们称 { U α } \{ U_\alpha \} {Uα​}为开覆盖。

紧致性 Компактность

如果从拓扑空间$X$的任意开覆盖中分离出有限部分，仍能覆盖该拓扑空间，则说明该空间是紧致的。
也即在任意开覆盖$X={\bigcup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$中都可以分离出有限子覆盖$X={\bigcup }_{i=1}^N{U}_{{\alpha }_i}$，即可以说明该拓扑空间是紧致空间。可以看出，这里的任意开覆盖，可以是无限多个开集构成，也可以是有限多个，这里强调的是有限多的子覆盖。

紧致性的性质 Свойства компактности

1. 若$A\subset X$是闭集，$X$是紧致空间，那么$A$是紧致的。
2. 若$X$是紧致的，且是Hausdorff空间$Y$的一个子集，那么$X$是$Y$中一个闭集。
3. 若$f:X⟶Y$是连续映射，其中$X$是紧致的，那么$f(X)$也是紧致的。
4. 若$X$是紧致的，$Y$是Hausdorff空间，那么对于连续且是双射的映射$f:X⟶Y$，其逆映射$f^{-1}:Y⟶X$是连续的。

流形 Многообразие

有一个拓扑空间$X$，若其中任何一点$x\in X$都有邻域，同胚与${\mathbb{R}}^n$，且$X$是Hausdorff空间以及有可数基，那么我们可以称$X$是一个$n$-维拓扑流形。

其中，$X$拥有一个可数基是指，存在一个由开集构成的序列，这个序列的所有元素的并集能够生成$X$中的任意开集。

图与图册 Карта и атлас

如果$M$是$n$维流形，那么$M$中可以取出一组开集 { U i } \{U_i\} {Ui​}，以及这些开集通过同胚${\phi }_i$映射到${\mathbb{R}}^n$上的区域$V_i\subset \mathbb{R}$，其中，这一组开集 { U i } \{U_i\} {Ui​}应该可以覆盖空间$M$，即$M={\bigcup }_i{U}_i$。一般来说，区域$V_i$之间是可以相交的。
于是，我们将有序对$(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$称为图，如果存在这样一组开集 { U i } \{U_i\} {Ui​}应该可以覆盖空间$M$，那么$\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\}$则被称为图册。

光滑流形 Гладкое многообразие

如果一个$n$维流形，其图册$\{(U_i,{\phi }_i)\}$满足：对任意一对图$U_{\alpha }$和$U_{\beta }$，存在转移映射${\phi }_{\alpha }\circ {\phi }_{\beta }^{-1}:R^n\to R^n$，且该映射还是光滑的（即连续可微），那么该$n$维流形就是一个光滑流形。

光滑函数 Гладкая функция

如果$X$是$n$维光滑流形，也就说它局部同胚于${\mathbb{R}}^n$，以及有局部图的映射${\phi }_{\alpha }$。然后我们定义一个函数$f:X\to \mathbb{R}$，如果函数${\tilde{f}}_{\alpha }=f\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}$是光滑的，那么函数$f:X\to \mathbb{R}$就是光滑函数。

在这里我们可以看出，函数${\tilde{f}}_{\alpha }=f\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}$的构造目的就是为了将${\mathbb{R}}^n$映射到$X$上后再映射到$\mathbb{R}$，这样就构造了一个${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$的函数，这是一种将流形上的问题转化为我们更熟悉的欧几里得空间中的问题的方法。

光滑映射 Гладкое отображение

与连续映射类似，光滑映射是定义在两个流形之间的映射。即我们构造一个映射$F:X\to Y$，其中$X$和$Y$都是光滑流形，于是对于$X$我们可以有图册$\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\}$，$Y$有图册$\{(V_{\beta },{\Psi }_{\beta })\}$。如果所有的映射${\Psi }_{\beta }\circ F\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}$都是光滑的，那么我们称$F:X\to Y$是光滑映射。

微分同胚 Диффеоморфизм

与同胚的概念类似，微分同胚的定义是：如果$F:X\to Y$是光滑映射，其中$X$和$Y$都是光滑流形，且$F$满足：

1. $F$是双射且光滑；
2. $F^{-1}$也是光滑映射；

那么我们称$F:X\to Y$是微分同胚映射。

通过方程定义流形

假设我们有一个${\mathbb{R}}^n$空间，其中每个点都可以使用$(x^1,...,x^n)$来描述，然后我们定义一个方程组$M$，共包含$k$个方程，其中$k\le n$，当然这里的方程都是彼此独立的，并将其定义如下：

$$M:\{\begin{array}{l}{f}_1(x^1,...,x^n)=0\\ ...\\ f_k(x^1,...,x^n)=0\end{array}\subset {\mathbb{R}}^n$$

此时，如果我们想让$M$成为一个流形，那么我们需要让每一个$f_i$都是光滑函数，即它在${\mathbb{R}}^n$的每一点上都有连续的偏导数，这里我们可以使用雅可比矩阵还限制：

$$rk\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x^1}& ...& \frac{\partial f_1}{\partial x^n}\\ ...& & ...\\ \frac{\partial f_k}{\partial x^1}& ...& \frac{\partial f_k}{\partial x^n}\end{array}\right)=k$$

这个条件要求这个雅可比矩阵在$M$上每一点的秩（即线性独立的最大行数或列数）必须是$k$，此时$M$就是$n-k$维的光滑流形。这里的$n-k$维可以理解成：每一个$f_i$都是对维度的约束，理论上就会少一个维度，那么如果有$k$个约束，就剩下$n-k$个维度。

切向量与切空间 Касательный вектор и касательное пространство

切向量 Касательный вектор

速度形式的切向量
假设有一个流形$M$和在这个流形上有一个平滑曲线$\gamma :\mathbb{R}⟶M$，且过点$P$，那么该点的切向量就是：

$$V=\frac{d\gamma (t)}{dt}{|}_{t=0}$$

那么，如果参数化该点，即$\gamma (t)=(x^1(t),\dots ,x^n(t))$，其中$x^i(t)$是流形上第$i$个坐标随时间$t$的函数，于是，我们从极限的角度来理解，可以使用$r(t)=(x_0^1+t{a}_1(x),\dots ,x_0^1+t{a}_n(x))$来表示切向量方向的直线运动，$r(0)=(x_0^1,\dots ,x_0^n)$是初始点，然后，我们可以将切向量表示为：

$$V=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{r(t)-r(0)}{t}$$

即$V=(a_1(x),\dots ,a_n(x))$。

切向量在不同坐标系下的转换
由于同一个流形中可以有不同的图，那么在不同坐标图（流形理论中常这样称“图”）下，切向量只是不同的数字组合，即不同的坐标系并不会影响切向量的本质。具体来说，不同坐标系下同一个切向量的转换公式是：

$$\frac{d{x}^i}{dt}{|}_{t=0}=\frac{\partial x^i}{\partial y^j}{|}_p\frac{d{y}^j}{dt}{|}_{t=0}$$

其中，$\frac{d{x}^i}{dt}{|}_{t=0}$ 和 $\frac{d{y}^j}{dt}{|}_{t=0}$分别是在两个不同坐标系下切向量的分量，
$\frac{\partial x^i}{\partial y^j}{|}_p$是坐标变换的雅可比矩阵的元素，用于在这两个坐标系之间进行转换。

如果采用形如$V=(a_1(x),\dots ,a_n(x))$的表示方法，还可以表述为：

$$a^i(x)=\frac{\partial x^i}{\partial y^j}{|}_p{a}^j(y)$$

该公式的矩阵形式可以被表示为：

$${\left[\begin{array}{c}{a}^1\\ ⋮\\ a^n\end{array}\right]}_{(y)}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x^1}{\partial y^1}& \cdots & \frac{\partial x^1}{\partial y^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial x^n}{\partial y^1}& \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial y^n}\end{array}\right]}_{(p)}{\left[\begin{array}{c}{a}^1\\ ⋮\\ a^n\end{array}\right]}_{(x)}$$

其中，中间的雅可比矩阵表示在$P$点，每个元素$\frac{\partial x^i}{\partial y^j}$是$x$坐标系下第$i$个坐标相对于$y$坐标系下第$j$个坐标的偏导数。

函数形式的切向量
与速度形式的切向量类似，函数形式的切向量是将曲线看作函数$f$，于是切向量可以表示为：

$$f\to a^1\frac{\partial f}{\partial x^1}{|}_p+...+a^n\frac{\partial f}{\partial x^n}{|}_p$$

其中，$\frac{\partial f}{\partial x^i}{|}_p$对自变量$x^i$在点$p$处的偏导数。

切空间 Касательное пространство

流形$M$在定点$P_0$上所有的切向量的集合叫做切空间，这个集合用$T_{P_0}(M)$来表示，其中每一个切向量$\xi \in T_{P_0}(M)$都可以在一个给定的坐标系中被唯一确定。

光滑映射的微分 Дифференциал гладкого отображения

之前我们定义了光滑映射，它的本质是两个拓扑空间之间点到点的映射，现在假设有一个光滑映射$F:X\to Y$，其中$X$上有一点$P$，它所在的一个曲线为$\gamma (t)$，于是在$F$的作用下，在$Y$上应该有一个曲线为$F(\gamma (t))$，然后我们如果对该曲线在$t=t_0$即$P$点处求导：

$$\frac{d}{dt}{|}_{t=t_0}F(\gamma (t))=d_{P}F\left(\frac{d\gamma }{dt}{|}_{t=t_0}\right)$$

其中，$d_{P}F$是映射$F$在点$P$处的微分，微分本身是线性映射，它将$T_{P}X$中的切向量$\frac{d\gamma }{dt}{|}_{t=t_0}$映射到$T_{F(P)}Y$中的切向量，这也就将原本的点对点映射转换成了切向量到切向量的映射。

在这里，可以理解为将$X$上某一点的微小变化映射到了$Y$上对应的微小变化。

进一步，在坐标系中：

我们定义$\gamma (t)=(x^1(t),...,x^n(t))$，于是$P$点的切向量是：

$$\frac{d\gamma }{dt}{|}_{t=t_0}=(\frac{d{x}^1}{dt}{|}_{t=t_0},...,\frac{d{x}^n}{dt}{|}_{t=t_0})$$

光滑映射过去后，

$$F(\gamma (t))=(y^1(x^1(t),...,x^n(t))),...,(y^m(x^1(t),...,x^n(t)))$$

那么如果对其中每个函数都进行求导，就可以得到：

$$(\frac{dF(\gamma (t))}{dt}{|}_{t=t_0}{)}^j=\frac{\partial y^i}{\partial x^i}{|}_p\frac{d{x}^i}{dt}{|}_{t=t_0}$$

那么对于整个$F(\gamma (t))$进行求导，并且以$v^i=\frac{d\gamma }{dt}{|}_{t=t_0}$，我们可以得到：

$$\left(\begin{array}{c}(d_P(F(\gamma )){)}^1\\ .\\ .\\ (d_P(F(\gamma )){)}^m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y^1}{\partial x^1}& ...& \frac{\partial y^n}{\partial x^n}\\ ...& & ...\\ \frac{\partial y^m}{\partial x^1}& ...& \frac{\partial y^m}{\partial x^n}\end{array}\right){|}_p\left(\begin{array}{c}{v}^1\\ .\\ .\\ v^n\end{array}\right)$$

光滑流形的定向性 Ориентируемость гладкого многообразия

[定义1] 如果流形$X$有一个图册$\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\}$，其中对于任意两个图$(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$和$(U_{\beta },{\phi }_{\beta })$在$U_{\alpha }\cap U_{\beta }\ne \varnothing$的情况下，拼接函数${\phi }_{\beta \alpha }={\phi }_{\beta }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}$的雅可比行列式$J({\phi }_{\beta \alpha })$在$U_{\alpha }\cap U_{\beta }$上处处为正，那么这个流形就被称为可定向流形。

[定义2] 如果流形$X$没有改变方向的闭合路径，则称其为可定向流形。

常见的定向流形有：$S^2$球面，$R^n$欧式空间，$T^n$环面；
常见的非定向流形有：莫比乌斯带，克莱因瓶，实射影平面$R{P}^2$。

常见闭曲面

	平面	球面	环面	射影平面	实射影平面
符号	$E^2$	$S^2$	$T^2$	$P^2$	$R{P}^2$

连通和

两个拓扑空间的连通和即是在两个空间上都取出一个小开球，再将两个小开球处留下边界“粘合”在一起，这个过程本质是一个同胚映射。

二维流形的分类定理

任何线性紧致二维流形一定同胚于下面其中一种形式：

1. $S^2\#T^2\#T^2\cdots \#T^2$，其中共$n$个$T^2(n\ge 0)$
2. $S^2\#R{P}^2\#R{P}^2\cdots \#R{P}^2$ ，其中共$m$个$R{P}^2(m\ge 1)$

三角剖分

二维流形$M$的三角剖分 是指将流形$M$分解为若干个小的“三角形”单元的过程。在这里，“三角形”不一定是严格的几何意义上的平面三角形，而是指拓扑上类似于三角形的结构。
在这个分割过程中，任意两个“三角形”单元的交集要么是空集，要么是一个顶点，要么是一条边。这意味着这些三角形在拓扑上互不重叠。

欧拉特征数

如果将一个二维流形，使用三角剖分的方法分割，最终得到的框架中的点，边以及面的数量通过下面的计算，得到了一个拓扑不变量：

$$\chi =F-E+V$$

这个量就是欧拉特征数（欧拉示性数），其中$F$，$E$和$V$分别是上面提到的点，边和面的数量。

以球面$S^2$为例，如果将其看作是一个正四面体，那么$\chi =4-6+4=2$，如果将其看作将一个圆面圆周“粘合”成一个点所形成，那么$\chi =1-0+1=2$，这也体现了欧拉特征数是一个拓扑不变量的性质。