55、曲线波变换：原理、特性与离散实现

曲线波变换：原理、特性与离散实现

在信号处理和图像处理领域，曲线波变换作为一种强大的工具，为我们提供了对二维函数进行高效分析和表示的方法。本文将深入探讨曲线波变换的基本概念、特性以及离散实现的具体步骤。

1. 连续曲线波变换的正式定义

设 (f(x) \in L^2(R^2))，({\psi_{a, \theta, b}(x)} {a\in(0,1], \theta\in[0,2\pi), b\in R^2}) 为曲线波原子族。连续曲线波变换定义为：
[
C_f(a,\theta,b) = \langle f, \psi {a, \theta, b} \rangle = \int_{R^2} f(x) \psi_{a, \theta, b}^*(x) dx
]
其中，({C_f(a,\theta,b), a \in (0,1], \theta \in [0,2\pi), b \in R^2}) 被称为函数 (f(x)) 的曲线波系数。

通常，曲线波系数可在傅里叶平面使用 Parseval 公式计算：
[
C_f(a,\theta,b) = \langle F, \hat{\psi} {a, \theta, b} \rangle = \frac{1}{(2\pi)^2} \int {R^2} F(\hat{x}, \hat{y}) \hat{\psi}_{a, \theta, b}^*(\hat{x}, \hat{y}) d\hat{x} d\hat{y}
]
这里 (a \in (0,1])，(\theta \in [0,2\pi))，(b \in R^2)