15、拓扑空间与流形：运动规划中的关键概念

拓扑空间与流形：运动规划中的关键概念

1. 拓扑空间中的点分类

在拓扑空间里，点可以分为不同类型。假设 (X = \mathbb{R}^2)，有子集 (U)，存在三种点：
- 边界点 ：既不是内点也不是外点的点。所有边界点的集合称为 (U) 的边界，记为 (\partial U)。
- 内点 ：若存在开集 (O_1)，使得 (x \in O_1) 且 (O_1 \subseteq U)，则 (x) 是 (U) 的内点。
- 外点 ：若存在开集 (O_2)，使得 (x \in O_2) 且 (O_2 \subseteq X \setminus U)，则 (x) 是 (U) 的外点。

内点和边界点又被称为极限点，所有极限点的集合是一个闭集，称为 (U) 的闭包，记为 (cl(U))，且 (cl(U) = int(U) \cup \partial U)。对于 (X = \mathbb{R})，区间的端点就是边界点。例如，在区间 ((0, 1))、([0, 1])、([0, 0)) 和 ((0, 1]) 中，(0) 和 (1) 是边界点。

闭集包含其所有边界点，而开集不包含其任何边界点。这些概念在运动规划中考虑配置空间的障碍物时非常有用。

2. 拓扑空间的示例

拓扑空间的定义非常宽泛，能构造出各种各样的拓扑空间。
- (\mathbb{R}^n) 的拓扑 ：对于任意整数 (n)，(X = \mathbb{R}^n) 是一个拓扑空间。开球 (B(x, \rh