15、拓扑空间与流形：运动规划中的基础概念解析

拓扑空间与流形：运动规划中的基础概念解析

1. 拓扑空间中的点与集合分类

在拓扑空间里，点和集合有着不同的分类。假设 $X = \mathbb{R}^2$，对于子集 $U$，存在三种不同类型的点：
- 边界点 ：若点 $x$ 既不是内点也不是外点，那么它就是 $U$ 的边界点。所有边界点构成的集合被称为 $U$ 的边界，记为 $\partial U$。
- 内点 ：直观来说，内点是完全处于集合内部的点。
- 外点 ：如果存在一个开集 $O_2$，使得 $x \in O_2$ 且 $O_2 \subseteq X \setminus U$，那么 $x$ 就是关于 $U$ 的外点。

另外，还有一个概念叫极限点（或聚点），如果 $x$ 是内点或者边界点，那么它就是 $U$ 的极限点。所有极限点构成的集合是一个闭集，称为 $U$ 的闭包，记为 $cl(U)$，且 $cl(U) = int(U) \cup \partial U$。

对于 $X = \mathbb{R}$ 的情况，区间的端点就是边界点。例如，在区间 $(0, 1)$、$[0, 1]$、$[0, 0)$ 和 $(0, 1]$ 中，$0$ 和 $1$ 是边界点。$(0, 1)$ 内的所有点都是内点，$[0, 1]$ 内的所有点都是极限点。“极限点” 这个名称的由来是，这样的点可能是 $U$ 中一个无限点列的极限。比如，对于自然数 $i$，序列 $\frac{1}{2^i}$ 的极限点是 $0$。

闭集包含其内部任何序列的极限点，这意味着闭集包含它的所有边界点。而开集则