14、几何表示与变换及配置空间相关知识解析

几何表示与变换及配置空间相关知识解析

在机器人运动规划中，几何表示与变换以及配置空间的概念至关重要。下面将详细介绍这些内容。

1. 闭环链约束与自由度

在机器人的连杆结构中，当存在闭环时，会对自由度产生影响。例如，有一个由多个连杆组成的结构，其中 (A_5) 和 (A_6) 相连。若不考虑闭环约束，(\theta_1, \cdots, \theta_{10}) 可以任意取值，具有十个自由度。但如果要维持闭环，就需要满足方程：
[T_1(\theta_1)T_2(\theta_2)T_3(\theta_3)T_4(\theta_4)T_5(\theta_5)
\begin{pmatrix}
a_5 \
0 \
1
\end{pmatrix}= T_{10}(\theta_{10})T_9(\theta_9)T_8(\theta_8)T_7(\theta_7)T_6(\theta_6)
\begin{pmatrix}
a_6 \
0 \
1
\end{pmatrix}]
这是一组复杂的非线性三角函数方程。在这个例子中，由于形成了公共关节，失去了两个自由度，实际自由度变为八个。如果 (A_5) 和 (A_6) 刚性连接，自由度将进一步减少到七个。

对于包含多个闭环的复杂连杆结构，可以通过迭代“忽略”闭环上的关节，将其转化为树形结构。每“忽略”一个关节，就会减少一个闭环，直到图中没有闭环为止。但对于每个被“忽略”的关节，都需要引入一个类似上述的方程，并且所有这些方程必须同时满足，以符合原始的闭环约束。

2. 非刚性变换

非刚性