14、几何表示、变换与配置空间相关知识解析

几何表示、变换与配置空间相关知识解析

1. 闭环运动链的自由度与逆运动学问题

在复杂的连杆结构中，若存在闭环，其自由度的计算会变得复杂。例如，对于由多个连杆组成的系统，若 A5 与 A6 之间有连接点，当不考虑闭环约束时，θ1 到 θ10 可以任意取值，系统有十个自由度。但当需要维持闭环时，就需要满足等式：
[T_1(\theta_1)T_2(\theta_2)T_3(\theta_3)T_4(\theta_4)T_5(\theta_5)
\begin{pmatrix}
a_5 \
0 \
1
\end{pmatrix}= T_{10}(\theta_{10})T_9(\theta_9)T_8(\theta_8)T_7(\theta_7)T_6(\theta_6)
\begin{pmatrix}
a_6 \
0 \
1
\end{pmatrix}]
这是一组非线性、三角函数方程，求解较为困难。在这个例子中，由于共用关节，系统失去了两个自由度，实际自由度变为八个。若 A5 和 A6 刚性连接，自由度将降为七个。

对于存在多个闭环的复杂连杆结构，可以通过迭代“忽略”闭环上的关节，将其转化为树形结构，以便应用之前的方法。但每“忽略”一个关节，就需要引入一个类似上述等式的方程，所有这些方程必须同时满足，以保证原闭环约束。

2. 非刚性变换

2.1 线性变换

旋转是线性变换的一种特殊情况，一般线性变换可通过一个 (n×n) 矩阵 (M) 表示。对于二维机器人 A 中的点 ((x, y))，其变换可表示为：
[\be