29、多级平面性与加权上边缘覆盖问题研究

多级平面性与加权上边缘覆盖问题研究

在图论和算法领域，多级平面性测试和加权上边缘覆盖问题是两个重要的研究方向。下面将详细介绍这两个问题的相关研究成果。

多级平面性测试问题

多级平面性测试问题是向上平面性测试和层级平面性测试的推广。研究人员针对不同类型的图，给出了一系列关于多级平面性测试的结果。

• 子图类型及对应结果
  • 嵌入式 sT - 图 ：给出了一个线性时间算法来判定嵌入式 sT - 图的多级平面性。该算法的正确性证明借鉴了向上平面性和层级平面性的相关见解。然而，对于没有固定嵌入的 sT - 图，判定其多级平面性是 NP 完全问题，这与向上平面性和层级平面性在这类图上可线性时间判定的情况形成对比。
  • 有向循环图 ：给出了一个线性时间算法来判定有向循环图的多级平面性。这一结果较为积极，因为多个源点的存在使得许多相关问题（如向上平面性测试、部分层级平面性或有序层级平面性测试）成为 NP 完全问题。
  • 有向树 ：多级平面性测试对于有向树是 NP 完全问题。对于给定组合嵌入的树，多级平面性测试是否变得可处理仍是一个开放问题。
  • 嵌入式多源图 ：对于嵌入式多源图，当每个顶点被分配到恰好一个层级，或两个相邻层级之一时，判定多级平面性仍然是 NP 完全问题。这再次与嵌入式多源图的向上平面性和层级平面性测试存在高效算法的情况形成对比。