33、快速卷积、图的秩宽与相关算法应用

快速卷积、图的秩宽与相关算法应用

1. 近似字符串匹配中的快速卷积

在近似字符串匹配领域，有关于计算汉明距离的算法研究。计算匹配计数时，需要将相关位域中的值相加。例如，当 $i = 0$，$s \geq 19$，且在当前模式与文本的对齐中，字母符号 9 有三个匹配时，存储相应 $U_0$ 和 $V_0$ 向量卷积的机器字在其 $A_{18}$ 位域的值将为 3。对于不匹配的情况设置的位域，我们直接忽略。

该算法的时间复杂度为 $O(\sigma n + \sigma n \log m/|A(w/ \log m)|)$，渐近为 $O(\sigma n + \sigma n \log m(\log m/w)^{1 - \epsilon})$，比之前的向量打包思想的复杂度要差。不过，当 $m$ 很大，特别是 $m = \Theta(n)$ 时，这个算法表现更好，甚至可能是两种方法中唯一适用的。

具体来说，在字长为 $w$ 位的字 RAM 中，对于长度 $m = O(n)$ 的模式 $P$，可以在 $O(\sigma n + \sigma n \log m(\log m/w)^{1 - \epsilon})$ 的最坏情况下计算所有 $n$ 个文本位置的汉明距离。其中，$\epsilon$ 随着 $w/ \log m$ 趋于无穷大而渐近趋近于零。

这里还介绍了两种加速现有汉明距离计算及相关问题算法的技术，它们基于基于快速傅里叶变换（FFT）卷积的位并行化概念。将模式与文本的多个子序列并行匹配的技术，也可轻松应用于汉明距离下的多模式匹配。在 $k$ - 不匹配问题的变体中，我们可以为不同模式立即使用不同的 $k$ 值。

这些技术在很多其他字符串匹配问题