16、快速子集卷积的应用、变体及图的宽度参数计算

快速子集卷积的应用、变体及图的宽度参数计算

1. 快速子集卷积的应用

快速子集卷积是设计快速指数时间算法的强大工具。不过，算法应用通常需要对标准方法进行扩展或修改，可能要使用辅助函数来促进卷积，也可能需要对标准快速子集卷积的动态规划算法进行更改。

1.1 k - 划分问题

设 $U$ 是一个包含 $n$ 个元素的集合，$S$ 是 $U$ 的子集族。对于任意 $k \geq 1$，可以在 $O^ (2^n)$ 时间内计算将 $U$ 划分为 $S$ 中元素的 $k$ - 划分的数量。
- 定义指示函数 $f : 2^U \to {0, 1}$，对于任意 $S \subseteq U$，$f(S) = 1$ 当且仅当 $S \in S$。
- $k$ - 划分的数量为：$\sum_{Y_1,Y_2,\cdots,Y_k \subseteq U, \cup_{i = 1}^k Y_i = U, Y_i \cap Y_j = \varnothing (i \neq j)} \prod_{i = 1}^k f(Y_i)$。
- 定义 $f^{ k} : 2^U \to \mathbb{Z}$ 为 $f$ 自身卷积 $k$ 次的结果，即 $f^{ k} = f * f * \cdots * f$（$k$ 次）。
- 对于所有 $S \subseteq U$，$f^{ k}(S) = \sum_{Y_1,Y_2,\cdots,Y_k \subseteq S, \cup_{i = 1}^k Y_i = S, Y_i \cap Y_j = \varnothing (i \neq j)} \prod_{i = 1}