15、精确指数算法中的Measure & Conquer与子集卷积

精确指数算法中的Measure & Conquer与子集卷积

1. Measure & Conquer方法

在算法设计中，为了找到近乎最优的权重，研究人员使用了基于随机局部搜索的计算机程序。该程序能够快速且较为准确地确定权重，即使在处理大量权重和递推关系时也表现良好。通过该程序，得到了如下权重：
- (w_i)：
- 当 (i = 2) 时，(w_i = 0.377443)；
- 当 (i = 3) 时，(w_i = 0.754886)；
- 当 (i = 4) 时，(w_i = 0.909444)；
- 当 (i = 5) 时，(w_i = 0.976388)。
- (v_i)：
- 当 (i = 2) 时，(v_i = 0.399418)；
- 当 (i = 3) 时，(v_i = 0.767579)；
- 当 (i = 4) 时，(v_i = 0.929850)；
- 当 (i = 5) 时，(v_i = 0.985614)。

这些权重使得 (\alpha < 1.2353)，从而算法的复杂度 (\ell(k) = O(\alpha^{k(S)}))。在搜索树的每个节点上（不包括递归调用），所花费的时间受 (n) 的多项式 (poly(n)) 限制，因为每个约简规则的执行时间都是多项式级的，且每个约简规则都会移除 (S) 的一个子集或停止计算。因此，算法的总体运行时间为 (O(n\ell(k) poly(n)) = O^∗(\ell(k)) = O(1.2353^{|U|+|S|}))。

对于最小支配集（MINIMUM DOMINATING SET，MD