32、快速卷积及其在近似字符串匹配中的应用

快速卷积及其在近似字符串匹配中的应用

1. 引言

在当前典型的 CPU 架构中，字长 ( w ) 通常为 32 或 64 位，并且有增长的趋势。在许多应用 FFT 和卷积的工作中，通常假设两个 ( w ) 位字的乘法可以在 ( O(1) ) 时间内完成，但对于较大的 ( w ) ，可能并非如此。若乘法需要 ( O(\log w) ) 时间，例如对于 ( k ) - 不匹配问题，结果将变为 ( O(n + n\sqrt{k \log w}/w \log k) ) 。

2. 向量打包的多重卷积

设有两个向量 ( \tau = \tau_0\tau_1 \cdots \tau_{n - 1} ) 和 ( \rho = \rho_0\rho_1 \cdots \rho_{m - 1} ) ，其中 ( m < n ) （通常 ( m \ll n ) ）。我们关注以下形式的和：
[
S(i) = \rho \otimes \tau(i) = \sum_{j = 0}^{m - 1} \rho_j \times \tau_{i + j}
]
对于每个可能的 ( i ) 。使用 FFT（卷积定理），两个长度为 ( n ) 的向量的卷积需要 ( O(n \log n) ) 时间。若将 ( \tau ) 划分为 ( n/m ) 个重叠的块，每个块的长度为 ( 2m ) ，则计算每个 ( i ) 的 ( \rho \otimes \tau(i) ) 总共需要 ( O(n \log m) ) 时间。

为了并行计算多个卷积，假设 ( S(i) ) 的每个值可以用 ( u ) 位表示，那么每个 ( w ) 位的字（其中 ( w = \Om