31、无墙西瓜的高度与范围及快速卷积在近似字符串匹配中的应用

无墙西瓜的高度与范围及快速卷积在近似字符串匹配中的应用

无墙西瓜的高度与范围

高度分布渐近性

对于随机变量 (H_{n,p})，其分布和矩的渐近性是研究的重点。长度为 (2n) 且高度小于 (h) 的 (p) - 西瓜的数量记为 (m_{n,h}^{(p)} = m_{n,h,n + 1}^{(p)})，那么 (H_{n,p}) 的分布为 (P{H_{n,p}+1\leq h}=\frac{m_{n,h}^{(p)}}{m_{n}^{(p)}})。

定理 1 给出了对于固定的 (t\in(0,\infty))，有渐近式 (P\left{\frac{H_{n,p}+1}{\sqrt{n}}\leq t\right}=2^{-\binom{p}{2}}\prod_{j = 0}^{p - 1}j!\det_{0\leq i,j\lt p}\left[(-1)^iH_{i + j}(0)-H_{i + j}(t)e^{-t^2}\right]+O\left(n^{-\frac{1}{2}}e^{-t^2}\right))，其中 (H_a(x)) 表示 (a) 阶埃尔米特多项式。

证明过程中，先考虑更一般的量 (m_{n,h}^{(p)}(x,y)=\det_{0\leq i,j\lt p}\left[\binom{2n}{n + x_i - y_j}-\binom{2n}{n + h - x_i - y_j}\right])，通过从行列式的每一行提出 (\binom{2n}{n}) 并应用引理 3 得到其渐近式 (m_{n,h}^{(p)}(x,y)=n^{-\binom{p}{2}}\left(\binom{2n}{n}\right)^p\prod_{0\le