13、树与图着色问题的复杂度与近似算法研究

树与图着色问题的复杂度与近似算法研究

1. 树的最大边着色问题的适度指数近似算法

在树结构中，解决最大边着色（MEC）问题有一个适度指数近似算法。该算法的每一步都会全面考虑 k 条边的权重，将其作为最优解中 k 个匹配的权重。这里 k 的取值范围依赖于整数参数 z，其中 0 < z ≤ m/2。具体而言，对于每个满足 k ≤ z 和 k ≥ m - z 的 k 值，算法会考虑所有可能的边权重组合。因此，算法的比率和（非多项式）复杂度也取决于 z。

对于任意 k 条边权重的组合 w1, w2, …, wk，算法需要解决一个决策问题：是否存在 MEC 问题的可行解 M1, M2, …, Mk，使得对于每个 Mi 中的边 e，有 maxe∈Mi w(e) = wi？此外，对于每个 z < k′ < m - z 的 k′，也会考虑类似的决策问题，权重为 w1, w2, …, wz, wz + 1, wz + 2, …, wk′，且 wz + 1 = wz + 2 = … = wk′ = wz。算法会返回所有迭代中找到的最小可行解。

这些决策问题可以通过转化为列表边着色（LEC）问题来解决。LEC 问题的实例包括一个图 G = (V, E)、一组颜色 C = {C1, C2, …, Ck}，以及对于每条边 e ∈ E 的颜色列表 φ(e) ⊆ C。问题是是否存在 G 的 k 着色，使得每条边 e 都被分配到其列表 φ(e) 中的一种颜色。已知 LEC 问题在树结构上是多项式可解的，但在二分图上是 NP 完全的。所以，树的决策问题可以在多项式时间内解决，但这种方法不能扩展到二分图。

以下是算法 TREES(z) 的具体步骤：