55、曲线波变换：从连续到离散的深入解析

曲线波变换：从连续到离散的深入解析

1. 连续曲线波变换

连续曲线波变换在信号处理和图像处理领域有着重要的应用，它能够将二维函数投影到曲线波原子族上，得到一系列分解系数。

1.1 正式定义

设 $f(x) \in L^2(R^2)$，${\psi_{a, \theta, b}(x)} {a\in(0,1], \theta\in[0,2\pi), b\in R^2}$ 为前面定义的曲线波原子族。连续曲线波变换定义为：
[
C_f(a,\theta,b) = \langle f,\psi {a, \theta, b} \rangle = \int_{R^2} f(x)\psi_{a, \theta, b}^*(x) dx
]
其中，${C_f(a,\theta,b),a \in(0,1], \theta \in[0,2\pi), b \in R^2}$ 称为函数 $f(x)$ 的曲线波系数。

通常，曲线波系数在傅里叶平面使用 Parseval 公式计算：
[
C_f(a,\theta,b) = \langle F, \hat{\psi} {a, \theta, b} \rangle = \frac{1}{(2\pi)^2} \int {R^2} F(\hat{x},\hat{y}) \hat{\psi}_{a, \theta, b}^*(\hat{x}, \hat{y}) d\hat{x} d\hat{y}
]
这里 $a \in(0,1], \theta \in[0,2\pi), b \in R^2$。

1.2 曲