55、曲线的傅里叶描述符：原理与计算

曲线的傅里叶描述符：原理与计算

在计算机视觉领域，对曲线进行准确描述是一项重要任务。傅里叶描述符为我们提供了一种有效的方法来实现这一目标，它能够以一种紧凑且具有不变性的方式表示曲线的特征。本文将深入探讨傅里叶描述符的相关原理和计算方法。

1. 基础公式与离散计算误差

首先，我们有以下公式：
[a_{k} = \frac{2}{m}\sum_{i = 1}^{m}c_{i}\cos(k u_{i}s)]
[b_{k} = \frac{2}{m}\sum_{i = 1}^{m}c_{i}\sin(k u_{i}s)]

这里，使用更多的点来近似曲线可以减少离散计算带来的误差。这些方程实际上是对积分的线性近似，积分可以通过梯形面积的求和来表示，最终得到相关方程。需要注意的是，$b_0$ 为零，$a_0$ 是 $c_i$ 值平均值的两倍，因此相关方程中的第一项是曲线的平均值（或重心）。

2. 累积角函数

傅里叶描述符可以通过多种边界表示方法获得。一种直接的方法是考虑用 $t$ 和 $c(t)$ 来定义边界的极坐标参数化的角度和模量，但这种表示并不通用，对于某些曲线，极坐标形式不能定义单值曲线，因此无法应用傅里叶展开。更通用的曲线描述方法是使用角函数参数化。

2.1 角函数

角函数 $\varphi(s)$ 测量切线的角度方向随弧长的变化。然而，这种方法存在问题，即使对于平滑曲线，角函数也会有间断点，这是因为角度方向被限制在 $0$ 到 $2\pi$ 之间，当角度方向增加超过 $2\pi$ 或减少到小于 $0$ 时，函数会突然变化以保持在范围内。

2.2 累积角函