54、小波与曲波变换研究：从噪声处理到图像特征分析

小波与曲波变换研究：从噪声处理到图像特征分析

1. 小波——多尺度分析工具

在信号处理中，噪声是一个不可忽视的因素。我们假设观测序列的噪声分布 $f$ 是 $\varepsilon$-污染正态分布族中某个未知成员的（可能经过缩放的）版本，即 $P_{\varepsilon} = {(1 - \varepsilon)\varPhi + \varepsilon G : G \in \mathcal{F}}$，其中 $\varPhi$ 是标准正态分布，$\mathcal{F}$ 是所有适当平滑的分布函数的集合，$\varepsilon \in (0,1)$ 是已知的污染比例。当混合参数 $\varepsilon = 0$ 时，该研究就简化为加性高斯噪声的情况，所以这种假设更具一般性。

对于固定的模型阶数，最小描述长度（MDL）准则的期望是熵加上一个与分布和估计器的函数形式都无关的惩罚项。依据极小极大原理，我们要寻找最不利的噪声分布，并针对该分布评估 MDL 准则。也就是要解决一个极小极大问题，在 $P_{\varepsilon}$ 中的所有分布上最大化熵，在估计器集合 $\mathcal{S}$ 中的所有估计器上最小化描述长度。若鞍点存在，就能得到 MDL 的极小极大鲁棒版本，即极小极大描述长度（MMDL）准则。

研究表明，$P_{\varepsilon}$ 中使熵最大化的最不利分布是一种中心为高斯分布、尾部为拉普拉斯分布（“双指数”）的分布，且在一个取决于污染比例 $\varepsilon$ 的点处从一种分布切换到另一种分布。具体而言，使负熵最小化的分布 $f_{H} \in P_{\varepsilon}$ 为：
[
f_{H}(c) =
\begin