9、拉普拉斯变换：定义、性质及应用

拉普拉斯变换：定义、性质及应用

1. 系统状态方程

在连续时间信号与系统领域，存在如下状态方程：
[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
-\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v \
\dot{v}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \
\frac{1}{LC}
\end{bmatrix}
v_i(t) \
y = Cx + Du = [1\ 0]
\begin{bmatrix}
v \
\dot{v}
\end{bmatrix}
+ 0v_i(t)
\end{cases}
]
其中，$A$ 被称为状态矩阵，$B$ 是输入矩阵，$C$ 为输出矩阵，$D$（在本示例中等于零）是前馈矩阵。

2. 拉普拉斯变换的定义与背景

拉普拉斯变换以法国数学家皮埃尔 - 西蒙·拉普拉斯命名，它是求解微分方程的重要工具，在设计和分析线性系统方面非常有用。

在解决工程问题时，常常需要对依赖函数变化率的物理现象进行建模，微积分和微分方程是自然的数学工具。然而，微积分求解（普通）微分方程要求函数连续且导数连续，并且工程问题经常会遇到脉冲、非周期或分段定义的输入信号。

傅里叶变换也是信号分析和线性滤波器设计的重要工