38、拉普拉斯变换：原理、性质与应用

拉普拉斯变换：原理、性质与应用

1. 拉普拉斯变换简介

拉普拉斯变换在将线性时不变模拟系统建模为传递函数时非常有用，也可用于求解此类系统的自由响应和强迫响应。不过，如今在系统规模较大时，人们通常使用计算机程序进行模拟求解。

拉普拉斯变换的定义为：对于时间函数 (f(t))，其拉普拉斯变换 (F(s)) 为
[F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt]
其中 (\mathcal{L}) 表示拉普拉斯变换，(s) 是复变量。其逆变换为
[f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi j} \int_{u - j\infty}^{u + j\infty} F(s) e^{st} ds]
这两个方程构成了拉普拉斯变换对。

例如，求指数函数 (e^{-at}) 的拉普拉斯变换：
[F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s + a)t} dt = \frac{1}{s + a}, \quad \text{Re}(s + a) > 0]

拉普拉斯变换具有线性性质：
- (\mathcal{L}[kf(t)] = k\mathcal{L}[f(t)] = kF(s))（(k) 为常数）
- (\mathcal{L}[f_1(t) + f_2(t)] = \mathcal{L}[f_1(t)] + \mathcal{L}[f_2(t)] = F_1(s) + F_2(s))