9、拉普拉斯变换：原理、应用与电路分析

拉普拉斯变换：原理、应用与电路分析

1. 引言

拉普拉斯变换（LT）是经典电路、系统和控制理论的基石。最初，它是为了将繁琐的微分方程求解转化为简单的代数问题而发展起来的。如今，工程师们已经超越了这一原始动机，基于“s 平面”开发了一套广泛的分析和设计方法。本文将通过一个激励性的微分方程（电路）问题引入拉普拉斯变换的正式原理，包括其性质以及正逆计算方法，然后将该变换应用于电路和系统的分析，探讨系统函数和稳定性分析等主题。

2. 激励性示例

2.1 串联 RLC 电路

为了激发对拉普拉斯变换的研究，我们以一个简单的串联 RLC 电路为例。如图 1 所示，电路的输入和输出分别为电压 x 和 y，其输入 - 输出动态由线性常系数微分方程控制：
[x(t) = LC\frac{d^2y}{dt^2} + RC\frac{dy}{dt} + y(t)]
这个方程源于电路示例，但它代表了许多二阶系统，这些系统出现在机械、流体、声学、生物医学、化学等工程模型中。因此，我们可以将该电路视为一个“系统”，这里探索的理论在系统建模和分析中具有广泛的适用性。

假设输入为：
[x(t) = M_xe^{\sigma_x t}\cos(\omega_x t + \theta_x)u(t)]
其中 (u(t)) 是单位阶跃函数：
[u(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \
\frac{1}{2}, & t = 0 \
1, & t > 0
\end{cases}
]
为方便起见，假设