8、拉普拉斯变换：原理、性质与应用

拉普拉斯变换：原理、性质与应用

1. 引言

在系统分析中，时域分析常涉及卷积积分或求和，因为系统响应由输入与冲激响应的卷积给出。而拉普拉斯变换为系统分析提供了一种强大的替代工具。它以法国天文学家和数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749 - 1827）命名。与之前研究的时域模型不同，拉普拉斯变换是一种频域表示，能使线性系统的分析和设计更加简便。

拉普拉斯变换在连续时间线性系统分析中是一种成熟的工具。它是一种积分变换，可将时域函数 (x(t)) 转换为频域（也称为 (s) 域）函数 (X(s))。其重要性体现在以下几个方面：
- 适用于更广泛的输入类型，能求出无界信号的拉普拉斯变换。
- 可在一次运算中提供系统的完整响应，即稳态响应加瞬态响应，或齐次解加特解。
- 是求解微分方程的有力工具，能自动包含系统分析中的初始条件，将常微分方程转化为更易处理和求解的代数方程，还能将卷积转化为简单的乘法。
- 可用于生成连续时间 LTI 系统的传递函数表示。

2. 拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换有两种类型：

2.1 双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换允许时间函数在负时间不为零，其定义为：
(\mathcal{L}[x(t)] = X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt)
其中 (s = \sigma + j\omega)，(\sigma)（单位为奈培/秒）和 (\omega)（单位为弧度/秒）分别是 (s) 的实部和虚部。双边拉普拉斯变换的优点是能处理 (-\infty)