3、布尔网络的向量空间方法

布尔网络的向量空间方法

1. 布尔代数与信息处理基础

在信息处理领域，二进制数字（比特）作为信息的基本原子单位的概念深入人心。这一概念源于香农在贝尔实验室的研究，他将布尔代数的公设和公理应用于比特的操作，使得这种方法成为现代信息处理任务的通用方法，广泛应用于数据通信、软件开发和数字电路设计等领域。

布尔代数通常定义为 ⟨B, +, ·, ¯, 0, 1⟩，其中 B = {0, 1}，+ 表示逻辑或，· 表示逻辑与，¯ 表示逻辑非，0 是加法单位元，1 是乘法单位元。这个代数系统功能完备，通过笛卡尔积可以构建多比特系统。

2. 线性代数相关概念

• 向量空间 ：线性代数定义在向量空间上。向量空间由一组向量以及缩放和加法运算组成。向量是一维的值或分量数组，向量的分量数量定义了向量空间的维度。这里主要关注有限维的向量空间，特别是有限维的希尔伯特空间。
• 希尔伯特空间 ：维度为 k 的向量空间，带有一元范数和二元内积运算。
• 向量空间映射
  • 同维映射 ：当向量在同一个 n 维希尔伯特空间中进行变换时，一个 n×n 的方阵 T 来表征这个映射 T : Hn → Hn。对于某些向量 vλ，变换结果是一个缩放后的向量 λvλ 且无旋转，即 Tvλ = λvλ，这样的向量 vλ 称为特征向量，λ 称为特征值。特征值可以通过特征方程 CT(λ) = |T - λI| = 0 计算，但实际中通常采用数值方法，因为求解特征方程可能会出现计算不稳定