4、布尔网络的向量空间方法

布尔网络的向量空间方法

1. 布尔网络的基本概念与转移矩阵

在布尔网络中，对于开关网络的第 $i$ 个赋值，有相关引理证明了投影矩阵 $P_i$ 的第 $i$ 行向量与逻辑网络的输出响应完全相等。同时，由于逻辑网络的每个特定输入激励向量都是规范基向量的形式，所有输入激励向量的集合构成了 $H^n$ 的一个完整规范基。矩阵 $X$ 由所有可能的输入激励按行向量从 $i = 0$ 到 $i = n - 1$ 以及从上到下的顺序排列而成，它等同于单位矩阵 $I$。

逻辑网络的转移矩阵是一个重要概念。对于一个具有 $n$ 个主要输入和 $m$ 个主要输出的逻辑网络，其转移矩阵 $F$ 可以表示为：
[F = \sum_{i = 0}^{2^n - 1} P_i]
通过相关推导，还可以将转移矩阵 $F$ 表示为外积之和的形式：
[F = \sum_{i = 0}^{2^n - 1} |i\rangle\langle f_i|]

2. 开关电路的转移矩阵计算

2.1 逻辑门的转移矩阵

以二输入与门为例，可以使用上述公式计算其转移矩阵。二输入与门有四种可能的输入激励：$\langle 00|$、$\langle 01|$、$\langle 10|$ 和 $\langle 11|$。根据投影矩阵的关系，可得投影矩阵分别为：
[P_0 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
[P_1 =
\begin{bma