21、量子态演化与相关熵的深入探讨

量子态演化与相关熵的深入探讨

1. 基础问题与引理证明

在量子信息领域，有一系列重要的不等式和引理需要证明。例如，结合经典的斯坦引理可以为引理3.6提供另一种证明。同时，还需要证明以下几个重要的不等式：
- 霍埃沃不等式 ：证明 (I (M, p, W) ≤ I (p, W))。
- 信道变换不等式 ：对于经典 - 量子信道 (W = (W_i)) 和保迹完全正映射 (\kappa)，定义 (\kappa(W) = (\kappa(W_i)))，证明 (I (p, \kappa(W)) ≤ I (p, W))。
- 冯·诺伊曼熵的强凹性 ：给定 (H_A) 和 (H_B) 上的密度矩阵 (\rho_A^i) 和 (\rho_B^i)，从量子相对熵的联合凸性证明 (H(\sum_{i} p_i\rho_A^i \otimes \rho_B^i ) ≥ H(\sum_{i} p_i\rho_A^i ) + \sum_{i} p_i H(\rho_B^i ))。
- 条件熵不等式 ：对于 (H_B) 上的任何保迹完全正映射 (\kappa)，证明 (H((\iota_A\otimes\kappa)(\rho)(A|B) ≥ H_{\rho}(A|B))。

2. 条件Rényi熵及其性质

2.1 四种条件Rényi熵的定义

为了推广条件熵，定义了四种条件Rényi熵：
- (H_{1 + s|\rho}(A|B) := -D_{1 + s}(\rho \para