24、量子信息熵：概念、性质与潜在定义探索

量子信息熵：概念、性质与潜在定义探索

1. 量子熵介绍

由于量子系统不仅具有经典不确定性，还具有由不确定性原理产生的量子不确定性，因此我们可能期望量子系统熵的度量与经典熵的度量有很大不同。但密度算符能捕捉这两种不确定性，并让我们确定给定系统任何测量结果的概率。所以，量子不确定性的度量应该是密度算符的直接函数，就像经典不确定性的度量是概率密度函数的直接函数一样。量子熵的定义如下：
假设 Alice 准备了一个处于状态 $ρ_A \in D(H_A)$ 的量子系统 A，那么该状态的熵 $H(A)_ρ$ 定义为：
$H(A)_ρ \equiv -Tr {ρ_A \log ρ_A }$

量子熵也被称为冯·诺依曼熵，我们常简称为熵。可以用 $H(A) ρ$ 或 $H(ρ_A)$ 表示，以明确显示其对密度算符 $ρ_A$ 的依赖。量子熵与密度算符的特征值有特殊关系。例如，考虑一个具有如下谱分解的密度算符 $ρ_A$：
$ρ_A = \sum {x} p_X(x)|x\rangle\langle x|_A$
可以证明量子熵 $H(A)_ρ$ 与具有概率分布 $p_X(x)$ 的随机变量 X 的香农熵 $H(X)$ 相同。

2. 量子熵的直观解释

假设 Alice 根据某个概率密度 $p_Y(y)$ 生成一个量子态 $|\psi_y\rangle$，对应一个随机变量 Y。Bob 还未收到 Alice 发送的状态，也不知道她发送的是哪一个。从 Bob 的角度来看，期望的密度算符为：
$\sigma = E_Y {|\psi_Y\rangle\langle \psi_Y|} = \sum_{y} p_Y(